Numrat reale dhe pronat e tyre

Pitagora pohoi se numri është themeli i botës në një nivel me elementet kryesore. Platoni besonte se numri i lidhjeve fenomenit dhe noumenon, duke ndihmuar të dini, të peshohen dhe për të nxjerrë konkluzione. Aritmetike vjen nga fjala "arifmos" - numri, pikënisje në matematikë. Është e mundur për të përshkruar ndonjë objekt - nga fillore në hapësira abstrakte mollë.

Ka nevojë si një faktor të zhvillimit

Në fazat fillestare të zhvillimit të shoqërisë nevojat e njerëzve të kufizuara nga nevoja për të mbajtur rezultatin - .. Një qese e grurit, dy qese kokërr, etj Për ta bërë këtë, ajo u numra natyrore, grup i cili është një sekuencë pafund të integers pozitive N.

Më vonë, zhvillimi i matematikës si një shkencë, ajo ishte e nevojshme në fushën specifike e integers Z - ajo përfshin vlera negative dhe zero. Paraqitja e tij në nivelin e brendshëm, ai u provokua nga fakti se kontabilizimi fillestar kishte në një farë mënyre të rregulluar borxhet dhe humbjet. Në një nivel shkencor, numrat negative kanë bërë të mundur për të zgjidhur të thjeshta ekuacione lineare. Ndër të tjera, tani është e mundur për imazhin një sistem të vogël të koordinuar, dmth. A. Nuk ishte një pikë referimi.

Hapi tjetër ishte nevoja për të futur numra pjesshëm, pasi shkenca nuk qëndrojnë ende, gjithnjë e më shumë zbulime të reja kërkoi një bazë teorike për një rritje të re shtytje. Kështu që nuk ishte një fushë e numrave racional Q.

Së fundi, nuk plotësojnë më kërkesat e racionalitetit, sepse të gjitha gjetjet e reja kërkojnë justifikim. Ka qenë një fushë e numrave real R, veprat e Euklidit mungesë bashkëmatësie e sasive të caktuara për shkak të irracionalitetit të tyre. Kjo është, matematikan lashtë greke e pozicionuar jo vetëm numrin si një konstante, por si një vlerë abstrakte e cila është karakterizuar nga raporti i madhësive pabashkëmatshëm. Për shkak të faktit se nuk janë numra real, "ne pamë dritën" vlerave të tilla si "pi" dhe "e", pa të cilën matematika moderne nuk mund të ketë ndodhur.

Risi e fundit ishte një numër kompleks C. Ajo iu përgjigj një sërë pyetjesh dhe hodhi poshtë postulate hyrë më parë. Për shkak të zhvillimit të shpejtë të rezultatit algjebër ishte e parashikueshme - me numra reale, vendimi i shumë problemeve nuk ishte e mundur. Për shembull, në sajë të numrave kompleks u dallua teoria e fijes dhe kaosit zgjeruar ekuacionet e hidrodinamikë.

Vendosur teori. drejtues kori

Koncepti i pafundësi ka shkaktuar gjithmonë polemika, pasi ishte e pamundur për të provuar apo përgënjeshtruar. Në kontekstin e matematikës, e cila është operuar postulate të verifikuara në mënyrë rigoroze, ajo manifestuar më të qartë, më shumë se aspekti teologjik ende peshonte në shkencë.

Megjithatë, përmes punës së matematikan Georg Cantor gjithë kohës ra në vend. Ai provoi se përcakton pafund ekziston një grup i pafund, dhe se fusha e R është më i madh se në terren N, le dy prej tyre dhe nuk kanë fund. Në mes të shekullit XIX, idetë e tij të quajtur publikisht absurditet dhe një krim kundër kanoneve klasike të pandryshueshme, por koha do të vënë gjithçka në vendin e vet.

vetitë themelore të fushës R

numrat aktual jo vetëm që kanë pronat e njëjtë si podmozhestva që ato përfshijnë, por plotësohen me masshabnosti tjetër në bazë të elementeve të tij:

• Zero R. ekziston dhe takon terren c + = c 0 për çdo c të R.
• Zero ekziston dhe takon fushë R. c x 0 = 0 për çdo c të R.
• raporti c: d kur ekziston d ≠ 0 dhe eshte e vlefshme per çdo c, d të R.
• Fushë R urdhëruar, d.m.th. nëse c ≤ d, d ≤ c, atëherë c = d për çdo c, d i R.
• Shtimi në terren R eshte commutative, d.m.th. c + d = d + c, për ndonjë c, d i R.
• Shumëzimi në terren R eshte commutative, d.m.th. x c x d = d c për të gjitha c, d i R.
• Shtimi në terren R eshte shoqerues d.m.th. (c + d) + f = c + (d + f) për çdo c, d, e f R.
• Shumëzimi në terren R eshte shoqerues d.m.th. (c x d) x f = c x (d x f) per cdo c, d, e f R.
• Për çdo numër i fushë R kundërt me atë atje, tillë që c + (-c) = 0, ku c, -C nga R.
• Per çdo numër i teren R ekziston inversi e saj, e tillë që c x c ^-1 = 1 ku c, c ^-1 i R.
• Njësi ekziston dhe takon R, në mënyrë që c X1 = C, për çdo c të R.
• Ajo ka shpërndarjen e ligjit të energjisë, në mënyrë që c x (d + f) = C x D + C x f, për çdo c, d, f i R.
• Fusha R eshte zero nuk është e barabartë me unitet.
• Fushë R eshte kalimtare: nëse c ≤ d, d ≤ f, pastaj c ≤ f për çdo c, d, e f R.
• Në R dhe shtimi rendit janë të ndërlidhur: në qoftë se c ≤ d, pastaj c + f ≤ d + f për të gjithë c, d, f i R.
• Në mënyrë të R dhe shumëzimit të lidhura: nëse 0 ≤ C, 0 ≤ d, atëherë 0 ≤ x c d për çdo C, D e R.
• Si numrave reale pozitive dhe negative janë të vazhdueshme, dmth, për çdo c, d i R f, ekziston nga R, se c ≤ f ≤ d.

fushë modul R

Numrat e vërtetë përfshijnë një gjë të tillë si një modul. Përcaktuar atë si | f | për çdo f në R. | f | = F, nëse 0 ≤ f dhe | f | = -f, në qoftë se 0> f. Nëse marrim parasysh modul si një vlerë gjeometrike, kjo është një distancë - kjo nuk ka rëndësi, "kalon" të zero në negative në pozitive ose përpara.

numrat komplekse dhe reale. Cilat janë ngjashmëritë dhe dallimet?

Nga dhe një numër të madh, kompleks dhe të vërtetë - ata janë një dhe të njëjtë, përveç se i pari u bashkuan njësisë imagjinare Unë, katror e cila është e barabartë me -1. Elementet fusha R dhe C mund të përfaqësohet nga formula e mëposhtme:

• c = d + f x i, ku d, f përkasin teren R dhe i - njësi imagjinare.

Për të marrë c të R f në këtë rast thjesht supozohet të jetë zero, pra, nuk është vetëm një pjesë e vërtetë e numrit. Për shkak se fusha e numrave kompleks ka të njëjtin funksion vendosur si fushën e vërtetë, f x i = 0 nëse F = 0.

Me fala dallimet praktike, për shembull në fushën e R ekuacionin kuadratik nuk mund të zgjidhet nëse discriminant është negative, ndërsa kutia C nuk imponon këtë kufizim duke futur njësi imagjinare i.

rezultatet

"Tulla" e aksiomat dhe postulatet në të cilën për matematikë bazë, nuk do të ndryshojë. Në disa prej tyre për shkak të rritjes së informacionit dhe futjen e teorive të reja të vendosura në "tulla" e mëposhtme, të cilat në të ardhmen mund të bëhet bazë për hapin e ardhshëm. Për shembull, numrat natyrore, pavarësisht nga fakti se ata janë një mesin e fushës vërtetë R, nuk e humb rëndësinë e saj. Është për ta baza e të gjitha aritmetike elementare, e cila fillon me njohjen e një njeriu të paqes.

Nga një këndvështrim praktik, numrat e vërtetë duket si një vijë të drejtë. Është e mundur për të zgjedhur një drejtim, për të identifikuar origjinën dhe katran. Drejtpërdrejtë përbëhet nga një numër të pafund të pikave, secila prej të cilave korrespondon me një numër të vetëm të vërtetë, pa marrë parasysh nëse janë apo jo racional. Nga përshkrimi është e qartë se ne po flasim për konceptin, i cili bazohet matematikës në përgjithësi, si dhe analizës matematike në veçanti.