Ekstremet e funksionit - në gjuhë të thjeshtë rreth kompleksit

Për të kuptuar se cilat janë pikat ekstremiste të një funksioni, nuk është e nevojshme të dihet për praninë e derivateve të parë dhe të dytë dhe për të kuptuar domethënien e tyre fizike. Së pari, ju duhet të kuptoni sa vijon:

• Ekstremet e funksionit maksimizojnë ose, anasjelltas, minimizojnë vlerën e funksionit në një lagje arbitrare të vogël;
• Në pikën extremum nuk duhet të ketë asnjë ndërprerje të funksionit.

Dhe tani e njëjta, vetëm në gjuhë të thjeshtë. Shikoni majën e shufrës së pllakës ballore. Nëse doreza është pozicionuar vertikalisht, shkrimi përfundon, atëherë mesi i topit do të jetë ekstremiteti - pika më e lartë. Në këtë rast flasim për një maksimum. Tani, nëse e ktheni lapsin me fundin e shkrimit, tashmë do të ketë një minimum funksioni në mes të topit. Duke përdorur shifrën e dhënë këtu, ju mund të dorëzoni manipulimet e listuara për një laps shkrimi. Pra, ekstremet e një funksioni janë gjithmonë pika kritike: maksimumi ose minima e tij. Seksioni i ngjitur i grafikut mund të jetë arbitrarisht i mprehtë ose i butë, por duhet të ekzistojë në të dyja anët, vetëm në këtë rast pika është një ekstrem. Nëse grafiku është i pranishëm vetëm në njërën anë, ky ekstrem nuk do të shfaqet edhe nëse kushtet ekstrem janë të kënaqshme në njërën anë të saj. Tani do të studiojmë ekstremet e funksionit nga pikëpamja shkencore. Në mënyrë që një pikë të konsiderohet ekstrem, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që:

• Derivati i parë ishte zero ose nuk ekzistonte në këtë pikë;
• Derivati i parë ndryshoi shenjën e tij në këtë pikë.

Gjendja trajtohet disi ndryshe nga pikëpamja e derivateve të rendit të lartë: për një funksion që është i dallueshëm në një pikë, mjafton që ekziston një derivat i çuditshëm i cili nuk është i barabartë me zero, me kusht që të gjitha derivatet e rendit më të ulët të ekzistojnë dhe të jenë zero. Ky është interpretimi më i thjeshtë i teoremave nga librat shkollorë të matematikës së lartë. Por për njerëzit më të zakonshëm ia vlen të shpjegojmë këtë pikë me shembull. Baza është një parabolë e zakonshme. Menjëherë të bëjë një rezervë, në pikën zero, ajo ka një minimum. Shumë pak matematikë:

• Derivati i parë (X ² ) ^| = 2X, për pikën zero 2X = 0;
• Derivati i dytë (2X) ^| = 2, për pikën zero z = 2.

Në këtë mënyrë të thjeshtë ilustrohen kushtet që përcaktojnë ekstremën e funksionit për derivatet e rendit të parë dhe derivatet e rendit të lartë. Mund të shtohet në këtë që derivativi i dytë është saktësisht i njëjti derivat i rastësishëm, i cili nuk është i barabartë me zero, që u përmend më lart. Kur vjen puna te ekstremet e një funksioni të dy variablave, kushtet duhet të plotësohen për të dy argumentet. Kur bëhet përgjithësimi, atëherë përdoren derivatet private. Kjo është, është e nevojshme që të ketë një ekstrem në një pikë, kështu që të dy derivatet e rendit të parë janë të barabartë me zero, ose të paktën një prej tyre nuk ekziston. Për mjaftueshmërinë e pranisë së një ekstremumi, një shprehje konsiderohet se është dallimi i produktit të derivateve të rendit të dytë dhe sheshit të derivatit të përzier sekondar të funksionit. Nëse kjo shprehje është më e madhe se zero, atëherë kryhet ekstremiteti dhe nëse ka barazi në zero, atëherë pyetja mbetet e hapur dhe kërkohet më shumë kërkime.