Furierit seri: historia dhe ndikimi i mekanizmit matematikore për zhvillimin e shkencës

Furierit seri - kjo pikëpamje zgjedhur në mënyrë arbitrare funksionet në periudhën në një rresht. Në terma të përgjithshme, kjo zgjidhje është quajtur elementin zgjerimit në baza Puna. Zgjerimi i funksioneve në seri Furierit është një mjet mjaft i fuqishëm për zgjidhjen e problemeve të ndryshme për shkak të vetive të transformimit në integrimin, diferencimit, si dhe një ndryshim në shprehjen argumentit dhe spirale.

Një person i cili nuk është i njohur me matematikë të larta, si dhe me veprat e Furierit shkencëtar francez, më shumë gjasa nuk do të kuptojnë se çfarë "radhët" dhe çfarë bëjnë ata. Megjithatë, ky transformim është mjaft e futur në mënyrë të vendosur jetën tonë. Ajo është përdorur jo vetëm matematikë, por edhe fizikantë, kimistë, mjekë, astronomët, Sizmologët, oqeanografët dhe të tjerët. Le të marrin një vështrim më të afërt me veprat e shkencëtarit të madh francez, i cili bëri zbulimin, përpara kohës së tij.

Njeriu dhe Furierit transformuar

seri Furierit është një nga metodat (së bashku me analizën e të tjerë) e Furierit transformuar. Ky proces zhvillohet çdo herë një person dëgjon ndonjë zë. Veshi ynë automatikisht konverton valë zanore. lëvizje Oscillatory nga grimca elementare në një medium elastike janë zgjeruar në seri (spektrit) vlerat vëllimit të njëpasnjëshme të ton lartësi të ndryshme. Tjetra, truri konverton këto të dhëna në tingëllon e njohur për ne. E gjithë kjo është përveç dëshirën tonë apo vetë vetëdijes, por për të kuptuar proceset që të marrë disa vjet për të studiuar matematikë të larta.

Lexoni më shumë për Furierit transformuar

Furierit transformuar mund të kryhet analitike, Numrat dhe metoda të tjera. seri Furierit janë proces numëror për dekompozuara ndonjë proceset oscillatory - nga Tides oqean dhe valët e dritës për ciklet diellore (dhe objekte të tjera astronomike) aktivitet. Duke përdorur këto teknika matematikore, është e mundur për të çmontimit funksionin, që përfaqëson ndonjë proceset oscillatory në një numër të komponentëve sinusoidale që shkojnë nga minimumi në maksimum dhe anasjelltas. Furierit transformuar është një funksion i përshkruar në fazën dhe amplituda e sinusoids korrespondon me një frekuencë veçantë. Ky proces mund të përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve një shumë komplekse të cilat përshkruajnë proceset dinamike që ndodhin nën veprimin e nxehtësisë, dritës apo energji elektrike. Gjithashtu, seri Furierit përdorur për të dalluar komponentët DC në waveforms komplekse, duke e bërë të mundur për të interpretuar saktë vërejtjet eksperimentale në mjekësi, kimi dhe astronomi.

Informacioni historik

Babai themelues i kësaj teorie është matematikan francez Zhan Batist Zhozef Fure. Emri i tij më vonë dhe ky transformim ka qenë quajtur. Fillimisht, shkencëtarët përdorën një teknikë për të studiuar dhe për të shpjeguar mekanizmat e përcjellshmërisë termike - përhapjen e nxehtësisë në trupat e ngurtë. Furierit sugjeroi se shpërndarja fillestare e parregullt e valës termike mund të zbërthehet në sinusoid të thjeshtë, secila prej të cilave do të ketë minimumin e saj temperaturës dhe maksimale, si dhe në fazën e tij. Kështu secili komponent i tillë të matet nga minimumi në maksimum dhe anasjelltas. Funksioni matematikore që përshkruan majat e sipërme dhe të poshtme të kurbë, si dhe faza e secilit harmonik, të quajtur transformimi Fourier e shpërndarjes temperaturës së shprehjes. Autori i teorisë së reduktuar funksionit të përgjithshëm të shpërndarjes që është e vështirë për përshkrimin matematikor, në një shumë e lehtë për të trajtuar një numër të funksioneve periodike e sinusit dhe kosinusit, në shumën e dhënies shpërndarjen fillestare.

Parimi i konvertimit dhe pikëpamjet e bashkëkohësve

Bashkëkohësit e shkencëtarit - Matematikanë kryesor i fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë - nuk e pranojnë këtë teori. Kundërshtimi kryesor ishte miratimi i Furierit se funksioni i shkëputur përshkruar një vijë të drejtë ose kurbë është shqyer, ajo mund të përfaqësohet si shumë e shprehjeve sinusoidale që janë të vazhdueshme. Si një shembull, e konsiderojnë një "hap" Heaviside: vlera e saj është zero në të majtë të hendekut dhe një në të djathtë. Ky funksion përshkruan varësinë e tanishme elektrike në kohë variablit për zinxhirin e mbylljes. Teoria bashkëkohore në atë kohë, nuk kishte hasur në një situatë të tillë, kur një shprehje e ndërprerë do të përshkruhet nga një kombinim i vazhdueshëm, funksionet e përbashkëta, të tilla si eksponenciale, sine, linear ose katror.

Çfarë shqetësuar Matematikanë franceze në teorinë e Furierit?

Pas të gjitha, në qoftë se një matematikan kishte të drejtë për të argumentuar, atëherë, mbledhur një seri pafund Furierit trigonometrik, është e mundur për të marrë një përfaqësim të saktë të hap të shprehjes, edhe në qoftë se ka një sërë hapash të ngjashme. Në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, kjo deklaratë dukej absurde. Por, pavarësisht nga të gjitha dyshimet, shumë Matematikanë kanë zgjeruar fushën e studimit të këtij fenomeni, duke lëvizur atë përtej studimeve përçueshmëri termike. Megjithatë, shumica e shkencëtarëve vazhdoi të vuajë pyetjen: "A mund shuma e serisë sine valë converges me vlerën e saktë të një funksion i shkëputur"

Konvergjenca e seri Furierit: Shembulli

Çështja e konvergjencës ngrihet çdo herë që të nevojitet përmbledhje e një seri të pafund të numrave. konsiderojnë një shembull klasik për kuptimin e këtij fenomeni. Mund të keni arritur ndonjëherë në mur, në qoftë se çdo hap është gjysma e mëparshme? Supozoni se ju jeni dy metra nga qëllimi, hapi i parë më afër për rreth gjysmë rrugë, tjetër - shenjë e një tre të katërtat, dhe pas të pestit, ju do të kapërcejë pothuajse 97 për qind të rrugës. Mirëpo, pa marrë parasysh se sa hapa ju keni bërë as, objektivi për qëllim që të arrijnë në një kuptim të rreptë matematikore. Duke përdorur llogaritjet numerike, ne mund të provojë se në fund mund të jetë më afër një distancë në mënyrë arbitrare të vogël të dhënë. Kjo është ekuivalente me një provë që provon se vlera e përgjithshme e një gjysmë, një e katërta, dhe kështu me radhë. E. do të tentojnë të unitetit.

Çështja e konvergjencës: ardhja e dytë, apo instrument i Zotit Kelvin

Në mënyrë të përsëritur pyetja u ngrit në fund të shekullit të nëntëmbëdhjetë, kur seri Furierit janë përpjekur për të përdorur për të parashikuar intensitetin e Ebbs dhe flukseve. Në atë kohë, Zoti Kelvin u shpik Pajisja është një kompjuter analog i cili lejoi marinarë detare dhe monitoruar marinës tregtare është një fenomen natyror. Ky mekanizëm përcaktuar grup i fazave dhe amplitudes të lartësisë tryezën e Tides dhe momenteve përkatëse kohore, i matur me kujdes në port gjatë gjithë vitit. Çdo parametër është një sinusoidale lartësitë komponent shprehje valën dhe ishte një nga komponentët rregullta. Rezultatet e matjes janë të dhëna me pajisjen informatikë Lord Kelvin, sintetizuar kurbë se parashikuar lartësinë e ujit si një funksion të vitit vijues. Shumë shpejt, këto kthesa janë hartuar për të gjitha portet e botës.

Dhe në qoftë se procesi do të jetë i prishur funksionin e nderprere?

Në atë kohë, u duk qartë se pajisja parashikuar një valë të baticës, me shumë elemente të llogarisë mund të llogaritur një numër të madh të fazave dhe amplitudes, dhe kështu të sigurojë një parashikim më të saktë. Megjithatë, doli se ky model nuk është vërejtur në rastet kur shprehja baticës që do të sintetizohet, që përmban një kërcim të mprehtë, që është, janë ndërprerë. Në rast se aparati për të hyrë të dhëna nga një tabelë e pikave kohë, ajo llogarit disa Koeficientët Furierit. Shërimi funksionin origjinale për shkak të komponentit sinusoidale (në përputhje me koeficientët e gjetura). Mospërputhja midis origjinalit dhe të shprehjes rikonstruktuar mund të matet në çdo pikë. Kur llogaritjet përsëris dhe krahasimet mund të shihet se vlera e gabimit më të madh nuk është zvogëluar. Megjithatë, ata janë të lokalizuara në rajon që korrespondon me pikën e këputje, dhe çdo pikë tjetër priren të zero. Në vitin 1899, ky rezultat është konfirmuar teorikisht Joshua Willard Gibbs i Yale University.

Konvergjenca e seri Furierit dhe zhvillimin e matematikës si një e tërë

Analiza Furierit nuk zbatohet për shprehjeve që përmbajnë një numër të pafund të breshëri në një interval të caktuar. Në serinë e përgjithshëm Furierit, nëse funksioni origjinal është përfaqësuar nga rezultati i matjeve aktuale fizike, gjithmonë konvergojnë. Pyetjet e konvergjencës së këtij procesi për klasat e veçanta të funksioneve kanë çuar në degët e reja të matematikës, të tilla si teoria e funksioneve të përgjithësuar. Ajo është e lidhur me emra të tillë si Schwartz, J .. Mikusiński dhe J. tempull. Sipas kësaj teorie, një bazë të qartë dhe të saktë teorike për shprehje e tillë është themeluar si funksion delta Dirakut (ajo përshkruan rajonin e një zone të vetme, të përqendruar në një lagje pambarimisht të pikës) dhe "hap" Heaviside. Përmes kësaj pune seri Furierit u bë i aplikueshëm për zgjidhjen e ekuacioneve dhe probleme, të cilat përfshijnë koncepte intuitive: Pika ngarkuar, pika masive, dipoles magnetike, dhe ngarkesa përqendruar në rreze.

Metoda e Furierit

seri Furierit, në përputhje me parimet e ndërhyrjes, të fillojë me zbërthimin e formave komplekse në të thjeshta. Për shembull, një ndryshim në rrjedhjen e nxehtësisë për shkak të kalimit të tij nëpër barrierat e ndryshme të ngrohjes materiali izolues e formë të parregullt ose ndryshon sipërfaqen terren - një tërmet, një ndryshim në orbitën e trupit qiellor - ndikimi i planeteve. Në mënyrë tipike, këto ekuacione që përshkruajnë të thjeshtë të sistemit ELEMENTARY klasike zgjidhur për çdo gjatësi vale individual. Furierit ka treguar se zgjidhje të thjeshtë mund të përmblidhet si për detyra më të ndërlikuara. Në gjuhën e matematikës, Furierit seri - një metodologji për dorëzimin e shprehjes shumës së harmonik - kosinus dhe valët sine. Prandaj, kjo analizë është e njohur edhe me emrin "analizat harmonike".

Furierit seri - një metodë ideale për "moshën kompjuter"

Para krijimit të teknologjisë kompjuterike metodës Furierit është arma më e mirë në arsenalin e shkencëtarëve që punojnë me natyrën valë të botës sonë. seri Furierit në formë komplekse ju lejon për të zgjidhur jo vetëm të problemeve të thjeshta që janë të përshtatshme për zbatimin e ligjeve të Njutonit e mekanikës drejtpërdrejtë, por edhe ekuacionet themelore. Shumica e zbulimeve të shkencës Njutonian të shekullit të nëntëmbëdhjetë u bë e mundur vetëm për shkak të metodës Furierit.

seri Furierit sot

Me zhvillimin e Furierit transformuar kompjutera janë rritur në një nivel të ri. Kjo teknikë është ngulitur fort në pothuajse të gjitha fushat e shkencës dhe teknologjisë. Si një shembull, një audio dixhitale dhe video. Zbatimi i saj është bërë e mundur vetëm në sajë të teorisë zhvilluar nga matematikan francez në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë. Kështu, seri Furierit në formë komplekse ka lejuar të bëjë një zbulim të madh në studimin e hapësirë e jashtme. Përveç kësaj, ajo ka ndikuar në studimin e fizikës të materialeve gjysmëpërçues dhe plazma, akustikë mikrovalë, oqeanografi, radar, sizmologjisë.

seri trigonometrik Furierit

Në matematikë, një seri Furierit është një mënyrë e përfaqëson funksione arbitrare komplekse si shumë e thjeshtë. Në rastet e përgjithshme, numri i shprehjeve mund të jetë i pafund. Sa më i madh numri i llogaritet në llogaritje, më të sakta rezultati përfundimtar është marrë. Përdorimi më i zakonshëm i kosinus thjeshtë trigonometrike apo funksion sine. Në këtë rast, seri Furierit quhet trigonometrike, dhe vendimi i shprehjeve të tilla - dekompozim harmonike. Kjo metodë luan një rol të rëndësishëm në matematikë. Para së gjithash, seri trigonometrike siguron një mjet për imazhin, si dhe studimin e funksioneve, kjo është njësia kryesore e teorisë. Përveç kësaj, ajo na lejon për të zgjidhur një sërë problemesh në fizikës matematikore. Së fundi, kjo teori ka kontribuar në zhvillimin e analizës matematike, ajo i dha të rritet në një numër të degëve shumë të rëndësishme të shkencës matematikore (teoria e integrals, teoria e funksioneve periodike). Përveç kësaj, pikënisja për zhvillimin e mëposhtme teorive: grupe, funksionet e një variable reale, analiza funksionale, dhe gjithashtu hodhi themelet për analizat harmonike.