Formacion, Arsimi i mesëm dhe shkolla
E papërcaktuar integral. Llogaritja e integraleve të pacaktuara
Një nga pjesët themelore të analizës matematike është gur integrale. Ajo mbulon një fushë shumë të gjerë të objekteve, ku për herë të parë - kjo është pacaktuar integrale. Pozita ajo qëndron si një çelës që është ende në shkollë të mesme zbulon një numër në rritje të perspektivave dhe mundësitë, i cili përshkruan matematikë të larta.
shfaqje
Në shikim të parë, duket krejtësisht pjesë integrale e moderne, aktuale, por në praktikë kjo rezulton se ai u kthye në 1800 para Krishtit. Shtëpi të konsiderohet zyrtarisht Egjiptin si nuk na ka arritur dëshmi të hershme të ekzistencës së saj. Kjo për shkak të mungesës së informacionit, të gjithë duke pozicionuar thjesht si një fenomen. Ai edhe një herë konfirmon nivelin e zhvillimit shkencor të popujve të atyre kohërave. Së fundi, punimet janë gjetur Matematikanë të lashtë grekë, që daton nga shekulli i 4-t para Krishtit. Ata përshkruajnë metodën e përdorur ku pacaktuar integrale, thelbi i të cilit ishte për të gjetur vëllimin ose sipërfaqe prej një formë ortogonale (tre-dimensionale dhe dy-dimensionale avion, respektivisht). Llogaritja është e bazuar në parimin e ndarjes së figurës origjinale në komponentët pambarimisht, me kusht që vëllimi (zona) është e njohur tashmë për ta. Me kalimin e kohës, metoda është rritur, Arkimedi e përdorur atë për të gjetur fushën e një parabolë. llogaritjet të ngjashme në të njëjtën kohë për të kryer ushtrime në Kinën e lashtë, ku ata ishin krejtësisht të pavarur nga shkenca shokët greke.
zhvillim
Përparim tjetër në shekullin e XI pes është bërë puna e dijetarit arab "wagon" Abu Ali al-Basri, i cili shtyu kufijtë e njohur tashmë, janë nxjerrë nga formula integrale për llogaritjen shumat e shumave dhe diplomave nga i pari që e katërt, duke aplikuar për këtë i njohur për ne Metoda e induksionit.
Mendjet e sotme janë admiruar nga egjiptianët e lashtë ka krijuar monumente të mahnitshme pa mjete të posaçme, përveç që e duarve të tyre, por nuk është një fuqi shkencëtarët çmendur të jo më pak kohë një mrekulli? Krahasuar me herë aktuale të jetës së tyre duket pothuajse primitive, por vendimi i integrals papërcaktuar të konkludohet kudo dhe përdoren në praktikë për zhvillimin e mëtejshëm.
Hapi tjetër u zhvillua në shekullin e XVI, kur matematikan italian Cavalieri sjellë metoda të pandashme, e cila kap Per Ferma. Këto dy personalitet hedhur themelet për gur moderne integrale, i cili është i njohur në këtë moment. Ata lidhur konceptet e diferencimit dhe integrimit, të cilat janë parë më parë si njësi më vete. Nga dhe të mëdha, matematika e asaj kohe ishte grimca fragmentuara gjetjet ekzistojnë vetë, me përdorim të kufizuar. Mënyrë për të bashkuar dhe për të gjetur gjuhën e përbashkët ishte vetëm e vërtetë në këtë moment, në sajë të tij, modern analizë matematike pasur mundësi për t'u rritur dhe zhvilluar.
Me kalimin e kohës ndryshon gjithçka dhe simbolin integral, si dhe. Në përgjithësi, ajo ishte caktuar shkencëtarët të cilët në mënyrën e vet, për shembull, Newton përdorur një ikonë katror, që të vënë një funksion të integrueshëm, ose thjesht të vënë së bashku.
Përkufizimi formal
Integrale të pacaktuar varet përkufizimin e primitive, kështu që ne e konsiderojmë atë në vendin e parë.
Antiderivative - është funksion inversi i derivatit, në praktikë ajo quhet primitive. Ndryshe: funksion primitive i d - është një funksion D, e cila është derivat v <=> V '= v. Kërko primitive është për të llogaritur integrale pacaktuar, dhe vetë procesi është quajtur integrimit.
shembull:
Funksionin s (y) = y 3, dhe S saj primitive (y) = (y 4/4).
Vendosur të gjitha primitives e funksionit - kjo është një integral pacaktuar, shënohet si vijon: ∫v (x) dx.
Duke u mbështetur në faktin se V (x) - janë vetëm disa funksion primitive origjinale, shprehja mban: ∫v (x) dx = V (x) + C, ku C - konstante. Nën konstante arbitrare referohet ndonjë konstante, që nga derivati i saj është zero.
pronat
Pronat pushtuar nga integrale të pacaktuar, në thelb bazohet në përkufizimin dhe vetitë e derivateve.
Konsideroni pikat kyçe:
- Derivati përbërëse primitive është primitive vetë plus një arbitrar konstante C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
- Derivati i integrale e funksionit është funksioni original <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
- konstante është marrë nga nën shenjës integrale <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, ku k - është arbitrar;
- integral, i cili është marrë nga shuma e identike barabartë me shumën e integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) DY = ∫v (y) DY + ∫w (y) Dy.
dy prona e fundit mund të konstatohet se integral pacaktuar është linear. Për shkak të kësaj, ne kemi: ∫ (kV (y) DY + ∫ LW (y)) DY = k∫v (y) DY + l∫w (y) DY.
Për të parë shembuj të fiksimin e zgjidhjeve integrals papërcaktuar.
Ju duhet të gjeni ∫ integrale (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.
Nga shembull ne mund të konkludojmë se ju nuk e dini se si për të zgjidhur integrals papërcaktuar? Vetëm të gjeni të gjitha primitives! Por kërkimi për parimet e diskutuara më poshtë.
Metodat dhe Shembuj
Në mënyrë për të zgjidhur integrale, ju mund të përdorë metodat e mëposhtme:
- gati për të përfituar nga të tabelës;
- integruar me pjesë;
- integruar nga zëvendësuar variabël;
- përmbledhur nën shenjën e diferencial.
tavolina
Mënyra më e thjeshtë dhe të kënaqshme. Në këtë moment, analizë matematike mund të mburremi tavolina mjaft e gjerë, të cilat shkruhen nga formulën themelore të integrals të pacaktuara. Me fjalë të tjera, ka templates rrjedhin deri në ju dhe ju mund të marrë vetëm përfitojnë prej tyre. Këtu është lista e pozicioneve kryesore tryezë, e cila mund të shfaqet pothuajse çdo shembull, ka një zgjidhje:
- ∫0dy = C, ku C - konstante;
- ∫dy = y + C, ku C - konstante;
- ∫y n DY = (y n + 1) / (n + 1) + C, ku C - një konstante, dhe n - numri i ndryshëm nga unitet;
- ∫ (1 / y) DY = ln | y | + C, ku C - konstante;
- ∫e y DY = e y + C , ku C - konstante;
- ∫k y DY = (k y / ln k) + C, ku C - konstante;
- ∫cosydy = Siny + C, ku C - konstante;
- ∫sinydy = -cosy + C, ku C - konstante;
- ∫dy / cos 2 y = tgy + C, ku C - konstante;
- ∫dy / sin 2 y = -ctgy + C, ku C - konstante;
- ∫dy / (1 + y 2) = arctgy + C, ku C - konstante;
- ∫chydy = shy + C, ku C - konstante;
- ∫shydy = Chy + C, ku C - konstant.
Nëse është e nevojshme, të bëjë disa hapa të çojë integrand në një pamje tabelare dhe të gëzojnë fitoren. Shembull: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Sipas vendimit është e qartë se për shembull një integrand tabelë mungon shumëzues 5. shtojmë atë paralelisht me këtë shumëzuar me 1/5 për shprehje të përgjithshme nuk ka ndryshuar.
Integrimit me pjesë
Konsideroni dy funksione - z (y) dhe X (y). Ata duhet të jenë vazhdimisht differentiable në domenin e saj. Në një pronat e diferencimit kemi: D (XZ) = XDZ + zdx. Integrimi i të dyja anët, marrim: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.
Rishkrimin ekuacionin rezulton, marrim formulën, i cili përshkruan metodën e integrimit me pjesë: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Pse është e nevojshme? Fakti se disa nga shembujt është e mundur për të lehtësuar, le të themi, për të reduktuar ∫xdz ∫zdx, nëse ky i fundit është i afërt me formë tabelare. Gjithashtu, kjo formulë mund të përdoret më shumë se një herë, për rezultate optimale.
Si për të zgjidhur integralet e pacaktuar në këtë mënyrë:
- nevojshme për të llogaritur ∫ (s + 1) e 2S DS
∫ (x + 1) d 2S DS = {Z = s + 1, dz = DS, y = 1 / 2e 2s, dy = e 2x ds} = ((s + 1) e 2S) / 2-1 / 2 ∫e 2S dx = ((s + 1) 2S e) / 2-d 2S / 4 + C;
- duhet të llogarisin ∫lnsds
∫lnsds = {Z = LNS, dz = DS / s, Y = S, dy = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.
Zëvendësimi ndryshueshme
Ky parim i zgjidhjes integrals pacaktuar janë jo më pak në kërkesë se dy e mëparshme, edhe pse e komplikuar. Metoda është si vijon: Le V (x) - e integrale e një funksion V (x). Në rast se në vetvete integral në Shembullin slozhnosochinenny vjen, është e mundshme për të marrë hutuar dhe të shkojnë poshtë zgjidhjet gabuar rrugë. Për të shmangur këtë ndryshim praktikë nga ndryshoren x në Z, në të cilën shprehje e përgjithshme e thjeshtuar vizualisht duke ruajtur Z në varësi të x.
Në terma matematikore, kjo është si vijon: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), ku x = y ( z) - zevendesimi. Dhe, sigurisht, funksioni inversi z = y -1 (x) përshkruan plotësisht marrëdhënien dhe marrëdhënien e variablave. Shënim i rëndësishëm - DX diferencial zëvendësohet domosdoshmërisht me një dz ri diferenciale, që nga ndryshimi i variablit të integralit të pacaktuar përfshin zëvendësuar atë kudo, jo vetëm në integrand.
shembull:
- duhet gjeni ∫ (s + 1) / (s 2 + 2S - 5) DS
Të aplikuar zëvendësues Z = (s + 1) / (s 2 + 2S-5). Atëherë dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) DS = dz / 2. Si rezultat i kësaj, shprehja e mëposhtme, e cila është shumë e lehtë për të llogaritur:
∫ (s + 1) / (s 2 + 2S-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s 2 + 2S-5 | + C;
- ju duhet të gjeni integrale ∫2 s e s dx
Për të zgjidhur rishkruaj në formën e mëposhtme:
∫2 s e s DS = ∫ ( 2E) s DS.
Ne treguar nga një = 2E (zëvendësimin e argumentit ky hap nuk është, ajo është ende s), ne japim tonë me sa duket e komplikuar përbërëse të formës themelore tabelore:
∫ (2e) s DS = ∫a s DS = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2S e s / ln (2 + lne) + C = 2S d s / (LN2 + 1) + C.
Duke përmbledhur një shenjë diferencial
Në përgjithësi, kjo metodë e integrals të papërcaktuar - vëllai binjak i parimit të ndryshimit të variablit, por ka dallime në procesin e regjistrimit. Le të konsiderojmë më në detaje.
Nëse ∫v (x) dx = V (x) + C dhe y = z (x), atëherë ∫v (y) DY = V (y) + C.
Në të njëjtën kohë, ne nuk duhet të harrojmë transformimet parëndësishëm përbërëse, ndër të cilat:
- dx = d (x + a), dhe ku - secili konstante;
- dx = (1 / a) d (ax + b), ku a - konstante përsëri, por jo zero;
- Xdx = 1 / 2d (x 2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Nëse marrim parasysh rastin e përgjithshëm, ku ne llogarisim integrale të pacaktuar, shembuj mund të përfshihen nën formulës së përgjithshme w '(x) dx = DW (x).
shembuj:
- duhet gjeni ∫ (2S + 3) 2 DS DS = 1 / 2d (2S + 3)
∫ (2S + 3) 2 DS = 1 / 2∫ (2S + 3) 2 d (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.
Ndihmë online
Në disa raste, faji i të cilave mund të bëhet apo dembelizmi, apo një nevojë urgjente, ju mund të përdorni bën në internet, ose më mirë, për të përdorur një makinë llogaritëse integrals papërcaktuar. Megjithë kompleksitetin e dukshme dhe natyrën kontroverse të integrals, vendimi është subjekt i algorithm e tyre të veçantë, e cila është e bazuar në parimin e "në qoftë se ju nuk e bëni ... atëherë ...".
Sigurisht, shembuj particularly ndërlikuar e një kalkulator të tillë nuk do të zotëruar, pasi ka raste në të cilat një vendimi për të gjetur një artificialisht "të detyruar", duke futur elemente të caktuara në këtë proces, sepse rezultatet janë mënyra të dukshme për të arritur. Pavarësisht nga natyra e diskutueshme të kësaj deklarate, kjo është e vërtetë, si matematikë, në parim, një shkencë abstrakte, dhe objektivi i saj primar konsideron nevojën për fuqizimin e kufijve. Në të vërtetë, për një të qetë të drejtuar-në teoritë është shumë e vështirë për të lëvizur dhe të zhvillohet, kështu që nuk supozojmë se shembujt e zgjidhjen e integrals të pacaktuar, i cili na dha - kjo është lartësia e mundësive. Por përsëri në anën teknike të gjërave. Të paktën për të kontrolluar llogaritjet, ju mund të përdorni shërbimin në të cilën është shkruar për ne. Në qoftë se ka një nevojë për llogaritjen automatike të shprehjeve të ndërlikuara, atëherë ata nuk duhet të mbështetet në një software më të rëndë. Duhet të i kushtoj vëmendje kryesisht në mjedisin MATLAB.
kërkesë
Vendimi i integrals papërcaktuar që në shikim të parë duket krejtësisht i shkëputur nga realiteti, sepse është e vështirë për të parë përdorimin e dukshme të avionit. Në të vërtetë, drejtpërdrejt përdorimin e tyre kudo që ju nuk mund të, por ata janë një element i domosdoshëm ndërmjetme në procesin e tërheqjes së zgjidhjeve të përdorura në praktikë. Kështu, integrimi i diferencimit mbrapa, duke marrë pjesë kështu në mënyrë aktive në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve.
Nga ana tjetër, këto ekuacione të ketë një ndikim të drejtpërdrejtë në vendimin e problemeve mekanike, llogaritjes trajektore dhe përcjellshmërisë termike - me pak fjalë, çdo gjë që përbën të tashmen dhe formësimin e të ardhmes. Shembuj të pacaktuar integrale, të cilat ne kemi konsideruar më sipër, i parëndësishëm vetëm në shikim të parë, si një bazë për të kryer gjithnjë e më shumë zbulime të reja.
Similar articles
Trending Now