Postulat pestë e Euklidit: formulimi

Besohet se ka pasur 10 000 vjet më parë, qytetërimi i parë njerëzor. Krahasuar me moshën e planetit tonë, e cila, sipas shkencëtarëve, është rreth 4.540.000 vjet e vjetër, kjo është vetëm një çast të shkurtër. Për këtë njerëzimin "moment", ka bërë një hap të madh nga mjete primitive guri për anijen ndërplanetar. Ai nuk do të jetë e mundur, në qoftë se nga koha në kohë në planet do të ishte lindur një gjeni, shkenca ecën përpara. Midis tyre, natyrisht, i referohet Euklidi. Veprat e tij u bë themeli dhe një shtysë e fuqishme për zhvillimin e matematikës moderne.

Ky artikull është rreth postulat pestë të Euklidit dhe historinë e saj.

Si e bëri gjeometria

Që nga parcelat e tokës kanë qenë objekt i qirasë, madhësia dhe zona e shitjes dhe ofrimit të tyre duhet të jenë të matur, duke përfshirë llogaritjet. Për më tepër, llogaritje të tilla bëhen të domosdoshme në ndërtimin e strukturave të mëdha, si dhe matjen e vëllimit të artikujve të ndryshëm. E gjithë kjo është bërë parakushte të 3-4 mijë vjet më parë në Egjipt dhe Babilonisë artit anketimit. Ajo ka qenë empirikisht dhe është një koleksion prej disa qindra shembuj të zgjidhjes së problemeve të veçanta, pa ndonjë dëshmi.

Si një shkencë sistematik të gjeometrisë zhvilluar në Greqinë e lashtë. Që në fillim të shekullit të tretë pes ka pasur një furnizim të madh të fakteve dhe metodave të provave. Megjithatë, nuk u ngrit problemin mjaft të gjerë për të përmbledhur materialin e mbledhur gjeometrike. Ajo u përpoq për të zgjidhur Hipokratit Fedii dhe filozofë të tjerë të lashtë greke. Megjithatë, logjikisht verifikuar sistemi shkencor nuk ishte vetëm rreth 300 vjet para Krishtit. e. me publikimin e "Principia".

Kush ishte Euklidi

Greqia e lashtë i dha botës shumë prej filozofëve më të mëdhenj dhe shkencëtarë. Një nga këto është Euklidi, i cili u bë themeluesi i shkollës së Aleksandrisë e matematikës. Rreth shkencëtar praktikisht asgjë nuk është e njohur. Disa burime tregojnë se babai i ri ardhmja e gjeometrinë moderne studiuar në shkollën e famshme e Platonit në Athinë, dhe pastaj u kthye në Aleksandri, ku ai vazhdoi të studiuar matematikë dhe optikë, si dhe muzikë kompozimin. Në qytetin e tij të lindjes ai themeloi një shkollë, ku, së bashku me studentët dhe krijoi veprën e tij të famshme, e cila për më shumë se dy mijë vjet është bazë për çdo tekst në gjeometri aeroplan dhe gjeometri të ngurta.

"Elementet" e Euklidit

Puna kryesore dhe më parë sistematik në gjeometri përbëhet nga 13 vëllime. Librat e parë katër dhe gjashtë merret me gjeometri aeroplan, dhe 11, 12 dhe 13 - gjeometri të ngurta. Sa për vëllimet e tjera, ata janë të përkushtuar për aritmetikë, e cila është nga pikëpamja e postulateve gjeometrike.

Roli i punës kryesore të Euklidit në zhvillimin e mëvonshëm të shkencave matematikore nuk mund të mbivlerësohet. Listat mes papirusit ekzistues disa e origjinalit, si dhe dorëshkrime bizantine.

Në Mesjetë, "Elementet" e Euklidit janë studiuar kryesisht nga arabët, të cilët i konsiderojnë ato një nga veprat më të mëdha të mendimit njerëzor dhe shkencëtar të Damaskut. Shumë më vonë këto vepra të interesuar evropianët. Me ardhjen e shtypjes shkencës, duke përfshirë gjeometri Euklidiane më të njohur vetëm për të zgjedhurve. Pas edicionit të parë në 1533. "Elementet" janë në dispozicion për të gjithë ata që dëshirojnë për të kuptuar botën, dhe ka gjithnjë e më shumë çdo vit. Kërkesa ka krijuar furnizimin, kështu besohet se kjo punë është e dytë më i lexuar gjerësisht në mesin e monumenteve të antikitetit pas Biblës.

disa tipare

"Elementet" e përshkruan vetitë metrikë e tre-dimensionale, bosh, të pakufishme dhe isotropic hapësirë, e cila quhet zakonisht Euklidiane. Ajo është konsideruar të jetë një arenë ku nuk janë fenomene të fizikës klasike e Galileo dhe Newton.

objekt Elementary gjeometrike, sipas Euklidit, është pika. Koncepti i dytë i rëndësishëm - pafundësia e hapësirës, e cila karakterizohet nga tre postulatet e para. E katërt ka të bëjë me barazinë e kënde të drejtë. Në lidhje me postulat pestë Euklidit, atëherë ajo përcakton pronat dhe gjeometria e hapësirës Euklidiane.

Sipas shkencëtarëve, babai klasike gjeometria krijuar një tekst të përsosur, studimi i cili përjashton çdo keqkuptim e materialit për shkak të mënyrës prezantimit të tij. Në veçanti, çdo vëllimi i "Elementet" fillon me përkufizimin e koncepteve hasur për herë të parë. Në veçanti, nga faqet e para të librit 1 lexuesi mëson se një pikë, line, e drejtë dhe kështu me radhë. Në total ai ka një 23 përkufizime të nevojshme për të kuptuarit e dispozitave kryesore të materialit të paraqitur në këtë punë themelore.

4 aksiomë parë dhe mirëqenë Euklidi

Pas një autor i "Elementeve" ofron rezultatet që janë të pranuara pa prova. Këto ai i ndan në aksiomat dhe postulatet. Grupi i parë përbëhet nga 11 deklaratat se njeriu njohur intuitive. Për shembull, aksiomë 8 se e tërë është më e madhe se pjesa, dhe në bazë të dy sasive të para, përveç të barabartë për të tre, të barabartë me njëri-tjetrin.

Për më tepër, 5 shkakton Euclid postulon. katër e parë si më poshtë:

• nga çdo pikë në ndonjë tjetër, ju mund të tërheqë një vijë të drejtë;
• nga çdo qendër të çdo rreze është e mundur për të përshkruar një rreth;
• Linja e kufizuar mund të zgjasë vazhdimisht në një vijë të drejtë;
• të gjitha kënde të drejtë janë të barabartë.

postulat pestë Euklidit 's

Për më shumë se dy mijëvjeçarë, kjo deklaratë në mënyrë të përsëritur u bë objekt i vëmendjes së Matematikanë. Por së pari, ne të njihen me përmbajtjen e postulat pestë Euklidit. Pra, në formulimin modern kjo tingëllon sikur në një avion në kryqëzimin e dy të drejtë të njëanshme e tretë shuma e këndeve të brendshme të më pak se 180 °, atëherë këto rreshta duke vazhduar shpejt ose më vonë takohen në atë anë në të cilën kjo sasi (sasia) e më pak se 180 °.

postulat pestë Euklidit 's, e cila është formulimi në burime të ndryshme është i ndryshëm nga fillim shkaktoi sport dhe duan për të përkthyer atë në kategorinë e teorema duke ndërtuar një provë të shëndoshë. Nga rruga, ajo është zëvendësuar shpesh nga një tjetër shprehje, në fakt, shpiku mallkuar dhe i njohur gjithashtu si aksiomë e Playfair. Ajo vijon si më poshtë: në një avion me një pikë që nuk i përket një linjë të caktuar mund të mbajë një dhe vetëm një vijë paralele drejt kësaj.

gjuhë

Siç është përmendur tashmë, shumë shkencëtarë janë përpjekur të ndryshme shprehin idenë e postulat 5-të të Euklidit. Shumë formulime janë mjaft të dukshme. Për shembull:

• linja konvergjente ndërpritet;
• ka të paktën një drejtkëndësh, që është 4-katror me katër kënde të drejtë;
• çdo shifër mund të rritet në mënyrë proporcionale;
• ekziston një trekëndësh që ka ndonjë, zonë në mënyrë arbitrare të madhe.

mangësi

gjeometria Euklidiane ishte veprat më të mëdha matematikore të antikitetit dhe deri në shekullin e 19-të, ajo mbretëroi pakundërshtueshëm në matematikë. Përkundër kësaj, disa nga të metat e saj janë vërejtur edhe nga bashkëkohësit e autorit dhe dijetarit të lashtë grek, të cilët jetonin pak më vonë. Në veçanti, ajo ka shtuar një aksiomë të re Arkimedi, emrin e tij. Ajo thotë se ka një numër të plotë n, e cila është n · [AB]> [CD] për të gjitha segmentet AB dhe CD.

Përveç kësaj, shkencëtarët kanë kërkuar për të minimizuar sistemin e aksiomat Euklidiane dhe postulatet. Për ta bërë këtë, ata morën disa prej tyre nga pjesa tjetër.

Pra, ajo arriti të "hequr qafe" të postulat 4 të barazisë së kënde të drejtë. Për të, një dëshmi rigoroz është gjetur, kështu që ai u zhvendos në kategorinë e teorema.

Historia 5 postulat në antikitet dhe në fillim të Mesjeta

Formulimi klasik i kësaj deklarate gjeometrisë Euklidiane duket shumë më pak e dukshme se katër të tjera. Është ky fakt Matematikanë përhumbur.

Pengesë për postulat pestë Euklidiane ishte përcaktimi i paralelizmit të dy linjave a dhe b, duke deklaruar se shuma e dy kënde të njëanshme të cilat janë formuar nga kryqëzimin e A dhe B një linjë e tretë të drejtë C, të barabartë me 180 gradë.

Përpjekja e parë për të provuar atë si një teoremë është bërë nga Posidonius gjeometër lashtë greke. Ai propozoi që të marrin në konsideratë një paralele të drejtpërdrejtë në planin e të vendosur të gjitha pikat që janë të baraslarguar nga origjinali. Megjithatë, edhe kjo nuk i ka lejuar Posidonius gjetur prova postulat 5th.

As pa dobi dhe përpjekjet e Matematikanë të tjera, duke përfshirë mesjetare, të tilla si arabët ibn Korra dhe Khayyam. E vetmja gjë që është arritur - shfaqja e postulateve të reja, të cilat mund të provohet bazuar në supozime të ndryshme.

Në shekujt 18-19-th

gjeometri klasike vazhduar të jenë të interesuar në matematikë dhe në shekullin e 18. Në mënyrë të veçantë, mjaft afër postulat paralele prova mund të vijë French matematikan A. Lazhandrian. Ai shkroi një libër të shquar "Elementet e gjeometrisë", e cila është rreth 150 vjet ishte kryesor i mësimit të matematikës në shkollat e Perandorisë Ruse. Në të shkencëtari i dha tre opsione të provojë aksiomë paralele Euklidiane, por ata të gjithë doli të jetë i pasaktë.

Deri në fillim të shekullit të 19-të, ideja e krijimit të një jo-gjeometri Euklidiane. përshkrimi i parë i sistemit, i pavarur nga postulat pestë, e udhëhequr nga një inxhinier ushtarak J. Boljait. Por ai ishte i frikësuar për zbulimin e tij dhe nuk e ndjekin këtë ide, duke besuar atë të gabuar. Suksesi nuk ka qenë në gjendje për të arritur dhe e madhe gjermane matematikan Gauss.

zbulim i madh

Për më shumë se 2000 vjet postulat pestë Euklidit, prova e cila u përpoq për të gjetur qindra shkencëtarëve, mbetet problemi numër një në matematikë. Përparime bërë matematikan rus NI Lobachevsky. Të tij në botë për herë të parë arriti të përshkruar vetitë e hapësirës reale, duke dëshmuar se gjeometria Euklidiane "funksionon" vetëm në rastin e veçantë të sistemit të tij.

N. I. Lobachevsky fillimisht zbriti të njëjtën rrugë si ajo e kolegëve të tij. Duke u përpjekur për të provuar postulat 5, ai nuk ka pasur sukses. Atëherë shkencëtari refuzuar përfaqësimin Euklidiane, sipas të cilit këndet e një shume trekëndësh të barabartë me 180 gradë. Next, ai u përpoq për të provuar këtë pohim me kundërshtim dhe mori një formulim të ri për postulat pestë. Tani, ai pranoi ekzistencën e disa linja paralele me këtë, dhe duke kaluar nëpër një pikë të gënjyer jashtë këtë linjë.

gjeometria e re

Nuk ka kuptim për të diskutuar që ka bërë më shumë për matematikën. Roli i Euklidi dhe Lobachevsky ndikimit të krahasueshme në formimin dhe zhvillimin e Newton-së dhe fizikës Ajnshtajnit. Në të njëjtën kohë, i ri, gjeometria absolute është e mundur që të konsiderojnë nocionin e hapësirës, duke thyer larg nga metoda klasike "mund të kuptojnë vetëm atë që mund të matet." Por, një qasje e tillë praktikohet në shkencë për mijëra vjet.

Për fat të keq, idetë e gjeometrisë Lobachevskii nuk janë pranuar dhe kuptuar nga bashkëkohësit e tij. Në veçanti, studentët e tij nuk janë të vazhduar punën e shkencëtarit, dhe zhvillimin e jo-gjeometri Euklidiane u vonua për disa dekada.

Disa tipare të teorisë Lobachevskii

Për të kuptuar gjeometria e re, është e nevojshme të marrin në konsideratë pafundësinë kozmike. Në të vërtetë, është e vështirë të imagjinohet se pafundësinë e universit është shuma e hapësirave lineare.

gjeometria Lobachevsky përdoret për të përshkruar hapësirat lakuar që janë krijuar nga fushat gravitacionale të galaktikave. Ajo lejohet të largohet nga metoda e vëmendjes së të gjitha figurat në "lidhje e drejtë" cilindër, rrethi, piramidale, ose ndonjë kombinim të këtyre formave. Për, shembull, në të vërtetë, planeti ynë - nuk ka topin, dhe sferike, dmth, një shifër e cila është marrë nga rrethues kontur jashtme të Litosfera (gungë) të Tokës ...

Në jetën reale, ka edhe analoge e hapësirave lakuar e universit, e cila lejon për të futur mundësinë e ekzistencës së disa linja paralele të kalon nëpër të njëjtën pikë. Në mënyrë të veçantë, kjo sipërfaqe lakuar prej tre llojeve që janë të ndara gjeometër italiane Beltrami dhe quajtur E. pseudosphere.

Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së Lobachevsky

Outstanding rus nuk ishte i vetmi që nuk është menduar absolutizmin e gjeometrisë Euklidiane. Në veçanti, matematikan Riemann në 1854 vënë përpara idenë e mundësisë së ekzistencës së hapësirave të zero, lakim pozitive dhe negative. Kjo do të thotë që ju mund të krijoni një numër të pafund të geometries ndryshme jo-klasike.

Në pozicionin e Riemann, i cili ka studiuar kryesisht hapësirë me lakim pozitive, postulat 5 i Euklidit tingëllon krejt papritur. Sipas ideve të tij, me anë të një pikë jashtë një linjë të caktuar nuk mund të mbajë asnjë vijë paralele të kësaj.

Krejt ndryshe është rasti me zero hapësira, lakim negative dhe pozitive të teorisë Klein 's. Në veçanti, në rastin e parë ata janë përshkruar nga një gjeometri alegorik, një rast i veçantë që është klasike, e dyta - binden ideve Lobachevskian, dhe e treta - në përputhje me ato të përshkruara nga Riemann.

Pas publikimit të Alberta Eynshteyna teorisë së relativitetit, paraqitja e hapësirave të tilla të plotësuar të dhënat që marrin parasysh ekzistencën e katër matjeve të ndërvarura dhe në ndryshim - pesha, energjisë, shpejtësi dhe kohë.

në praktikë

Nëse ju shkoni në perceptimin e njeriut të hapësirës brenda orbitën e Tokës për gjigand trekëndëshin më të madhe të mundshme të devijimit të mundshëm të shumës së kënde të brendshme të 180 gradë klasike make vetëm katër milionta e një të dytë. Kjo vlerë është përtej aftësive të homo sapiens, kështu që "tokësore" kërkesa është gjeometria Euklidiane.

Mbetet për të pritur derisa janë krijuar kushtet që lejojnë për të marrë të dhëna eksperimentale për të konfirmuar ose të hedhur poshtë teorinë e N. Lobachevsky dhe Riemann nëpër galaktikë.

Tani ju e dini se deklaron postulat pestë Euklidit dhe historinë e saj, e cila është shumë e dobishme, dhe na lejon për të ndjekur evoluimin e mendjes njerëzore gjatë 2300 viteve të fundit.