Konceptet themelore të teorisë së probabilitetit. Ligjet e teorisë së probabilitetit

Shumë njerëz, kur të përballen me nocionin e "teorisë së probabilitetit", të frikësuar, duke menduar se kjo është diçka e patolerueshme, shumë e vështirë. Por kjo nuk është në të vërtetë kaq tragjike. Sot ne shikojmë në konceptet bazë të teorisë së probabilitetit, të mësojnë për të zgjidhur problemet me shembuj konkretë.

shkencë

Çfarë është duke studiuar një degë e matematikës si një "teorisë së probabilitetit"? Ajo vë në dukje modele të ngjarjeve të rastit dhe variablave. Për herë të parë çështja e Shkencëtarëve të Shqetësuar në shekullin e tetëmbëdhjetë, kur studioi kumar. Konceptet themelore të teorisë së probabilitetit - ngjarje. Ajo është çdo fakt që është deklaruar nga përvoja apo vëzhgimi. Por ajo që është përvoja? Një tjetër koncept bazë i teorisë së probabilitetit. Kjo do të thotë se kjo pjesë e rrethanave nuk janë krijuar rastësisht, dhe me një qëllim. Për sa i përket mbikëqyrjes, nuk është studiues vetë nuk merr pjesë në përvojën, por thjesht një dëshmitar i këtyre ngjarjeve, ajo nuk ka efekt në atë që po ndodh.

ngjarjet

Ne mësuam se koncepti themelor i teorisë së probabilitetit - ngjarjes, por nuk e konsiderojnë klasifikim. Të gjithë ata janë të ndarë në kategoritë e mëposhtme:

• Reliable.
• E pamundur.
• Random.

Pa marrë parasysh se çfarë ngjarje është, e cila është duke u shikuar ose krijuar në rrjedhën e eksperimentit, ata janë të prekur nga ky klasifikim. Ne ofrojmë çdo lloj të takohen veç e veç.

ngjarje të caktuara

Ky është një fakt të cilin për të bërë setin e nevojshëm të aktiviteteve. Në mënyrë që të kuptojnë më mirë thelbin, është më mirë për të dhënë disa shembuj. Kjo është në varësi të ligjit dhe fizikë, kimi, ekonomi, dhe matematikë të larta. Teoria e probabilitetit përfshin një koncept të tillë të rëndësishëm si një ngjarje të rëndësishme. Këtu janë disa shembuj:

• Ne punojmë dhe për të marrë shpërblim në formën e pagave.
• Well kaluar provimet, kaloi një konkurs që ajo të marrë shpërblim në formën e pranimit në një institucion arsimor.
• Ne kemi investuar para në bankë, të merrni ato mbrapa nëse është e nevojshme.

Ngjarje të tilla janë të vërteta. Në qoftë se ne kemi përmbushur të gjitha kushtet e nevojshme, të jetë i sigurt për të marrë rezultatin e pritur.

ngjarja e pamundur

Tani ne e konsiderojmë elementet e teorisë së probabilitetit. Ne ofrojmë për të shkuar në sqarimet në llojet e mëposhtme të ngjarjeve - domethënë pamundur. Që të filloni të përcaktojë rregullin më të rëndësishëm - probabiliteti i një ngjarjeje pamundur është zero.

Nga ky formulim nuk mund të përjashtohen, në zgjidhjen e problemeve. Për të ilustruar shembuj të ngjarjeve të tilla:

• Uji është e ngrirë në një temperaturë prej plus dhjetë (është e pamundur).
• Mungesa e energjisë elektrike nuk do të ndikojnë në prodhimin (si e pamundur si në shembullin e mëparshëm).

Më shumë shembuj janë dhënë nuk është e nevojshme, siç përshkruhet më sipër shumë qartë pasqyrojnë thelbin e kësaj kategorie. Ngjarja e pamundur nuk ndodh gjatë eksperimentit në asnjë rrethanë.

ngjarjeve të rastit

Duke studiuar elementet e teorisë së probabilitetit, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet llojit të caktuar të ngjarjes. Këta janë ata studiojnë këtë shkencë. Si rezultat i përvojës së diçka mund të ndodhë apo jo. Përveç kësaj, testi një numër të pakufizuar të kohës mund të kryhet. Shembuj të rëndësishme përfshijnë:

• Hedhje monedhë - kjo është një përvojë, apo provë, humbja e një shqiponjë - kjo ngjarje.
• Tërhequr topin nga qese verbërisht - provë, u kap topin e kuqe - këtë ngjarje dhe kështu me radhë.

Shembuj të tillë mund të jetë një numër të pakufizuar, por, në përgjithësi, duhet të kuptohen. Për të përmbledhur dhe sistematizuar njohuritë e fituara në lidhje me ngjarjet e një tabele. Studimet e teorisë së probabilitetit vetëm lloj i fundit i të gjithëve paraqitur.

ligjet

Teoria e probabilitetit - shkenca që studion mundësinë e humbjes së ndonjë ngjarjeje. Si të tjerët, ajo ka disa rregulla. Ligjet e mëposhtme të teorisë së probabilitetit:

• Konvergjenca e sekuencave të variablave të rastit.
• Ligji i një numri të madh.

Kur llogaritet mundësinë e një kompleksi mund të përdoret ngjarjet komplekse të thjeshta për të arritur rezultate më të lehtë dhe më të shpejtë mënyrë. Duhet të theksohet se ligjet e teorisë së probabilitetit mund të provohet lehtë me ndihmën e disa teorema. Ne sugjerojmë që të fillojnë të njihen me ligjin e parë.

Konvergjenca e sekuencave të variablave të rastit

Vini re se konvergjenca e disa lloje:

• Sekuenca e variablave të rastit konvergjencës në probabilitet.
• Pothuajse e pamundur.
• RMS konvergjencës.
• Konvergjenca në shpërndarje.

Pra, në të fluturojnë, ajo është shumë e vështirë për të kuptuar thelbin. Këtu janë përkufizime që do të ndihmojë për të kuptuar temën. Për të filluar me vështrim të parë. Sekuenca quhet konvergjencës në probabilitet, nëse gjendja vijon: n afrohet pafundësi, numri i kërkuar nga sekuencë është më i madh se zero dhe në afërsi të njësisë.

Shko në pamje tjetër, pothuajse me siguri. Ata thonë se sekuenca konvergon pothuajse me siguri të një ndryshoreje të rastit me n duke u kujdesur në pafundësi, dhe R, duke u kujdesur për një vlerë afër unitetit.

Lloji tjetër - një konvergjencë e RMS. Kur përdorni SC-mësimit konvergjencën e proceseve vektoriale rastit redukton në studimin e proceseve të rastit të koordinuar.

Ishte tip i fundit, le të shohim shkurtimisht dhe për të shkuar direkt në zgjidhjen e problemeve. Konvergjenca në shpërndarje ka një emër - "të dobët", pastaj të shpjegojë pse. Dobët Konvergjenca - është konvergjenca e funksioneve të shpërndarjes në të gjitha pikat e vazhdimësisë së funksionit të shpërndarjes limit.

Të jetë i sigurt për të mbajtur premtimin: konvergjenca e dobët është e ndryshme nga të gjitha më lart që variabli rastit nuk është përcaktuar në hapësirën e probabilitetit. Kjo është e mundur sepse gjendja është formuar ekskluzivisht duke përdorur funksionet e shpërndarjes.

Ligji i një numri të madh

ndihmë e madhe në provë e ligjit do të jetë teorema e teorisë së probabilitetit, të tilla si:

• Pabarazia Chebyshev.
• Teorema Chebyshev.
• Teorema e përgjithësuar Chebyshev.
• Teorema Markov.

Nëse marrim parasysh të gjitha këto teorema, atëherë çështja mund të marrë disa dhjetëra fletë. Ne kemi detyra kryesore - është aplikimi i teorisë së probabilitetit në praktikë. Ne ju ofrojmë të drejtë tani dhe të bëjë atë. Por, para se ne e konsiderojmë aksiomat e teorisë së probabilitetit, ata janë partnerët kryesorë në zgjidhjen e problemeve.

aksiomat

Nga e para, ne kemi parë tashmë, kur flasim për ngjarjen e pamundur. Le të kujtojmë: probabiliteti i një ngjarjeje pamundur është zero. Shembull kemi dhënë një shumë të gjallë dhe i paharrueshëm: bora ra në një temperaturë të ajrit tridhjetë gradë Celsius.

E dyta është si vijon: një ngjarje e caktuar ndodh me unitet probabilitetit. Tani ne do të tregojnë se si është shkruar me ndihmën e gjuhës matematike: P (B) = 1.

Së treti: Një ngjarje e rastit mund të ndodhë ose jo, por mundësia është gjithmonë ndryshojnë nga zero në një. Sa më afër është për unitet, më shumë shanse; nëse vlera është afër zeros, probabiliteti është shumë e ulët. Ne shkruani këtë në gjuhën matematikore: 0

Konsideroni fundit, aksiomë e katërt, që është: shuma e probabilitetit të dy ngjarjeve është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. Të shkruar termat matematikore: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiomat e teorisë së probabilitetit - kjo është një rregull i thjeshtë që nuk do të jetë e vështirë për të kujtuar. Le të përpiqen për të zgjidhur disa probleme, të bazuara në njohuritë e fituara tashmë.

biletë llotarie

Së pari, e konsiderojnë shembullin thjeshtë - një llotari. Paramendoni se ju keni blerë një biletë llotarie për fat të mirë. Cili është probabiliteti që ju do të fitojë të paktën njëzet rubla? qarkullimi i përgjithshëm është i përfshirë në një mijë bileta, një nga të cilat ka një çmim prej pesëqind rubla, dhjetë njëqind rubla, njëzet e pesëdhjetë rubla, dhe njëqind - pesë. Detyra e teorisë së probabilitetit bazuar në atë se si për të gjetur një mënyrë për fat. Tani së bashku ne të analizojnë të vendimit të mësipërm pamje detyra.

Nëse ne treguar nga një çmim prej pesëqind rubla, atëherë probabiliteti i një është e barabartë me 0,001. Si mund të merrni? Vetëm duhet numri i biletave "fat", pjestuar me numrin total (në këtë rast: 1/1000).

Në - një fitim prej njëqind rubla, probabiliteti do të jetë e barabartë me 0.01. Tani ne kemi vepruar në të njëjtën mënyrë si veprimin e fundit (10/1000)

C - fitim është njëzet rubla. Gjej probabilitetin, ajo është e barabartë me 0.05.

Pjesa tjetër e biletave ne nuk jemi të interesuar, si paratë e tyre çmim është më pak se specifikuar në gjendje. Aplikuar një aksiomë katërt: Probabiliteti i fituar të paktën njëzet rubla është P (A) + P (B) + P (C). Letra P tregon probabilitetin e origjinës së ngjarjes, ne në hapat e mëparshëm kemi gjetur tashmë ato. Mbetet vetëm për të hedhur poshtë të dhënat e nevojshme, përgjigjen e kemi marrë 0.061. Ky numër do të jetë përgjigje për pyetjen e vendeve të punës.

kuvertë të kartave

Problemet në teorinë e probabilitetit, ka edhe më komplekse, për shembull, të marrë punë tjetër. Para se kuvertë e tridhjetë e gjashtë karta. Detyra juaj - për të nxjerrë dy kartat në një rresht, pa përzierjen grumbull, kartat e parë dhe të dytë duhet të jetë i aces, kostume nuk kanë rëndësi.

Për të filluar, të gjetur probabilitetin se karta e parë është një ACE, këtë ndarje nga katër e tridhjetë e gjashtë. Vëre mënjanë. Ne kemi marrë një kartë të dytë është një ACE me probabilitetin e treqind e tridhjetë e pestë. Probabiliteti i ngjarjes së dytë varet cilën kartë kemi tërhequr një të parë, ne jemi të interesuar në të, ajo ishte një ACE apo jo. Nga kjo rrjedh se në rast varet ngjarjes A.

Hapi tjetër ne gjejmë mundësinë e zbatimit të njëkohshëm, dmth, shumëfishohen A dhe B. Puna e tyre është si vijon: probabiliteti i një ngjarje të shumëzuar me probabilitetin e kushtëzuar të një tjetër, ne llogarisim, duke supozuar se ka ndodhur ngjarja e parë, pra, karta e parë ne nxorrën një ACE.

Në mënyrë që të bëhet gjithçka është e qartë, të japë elementin përcaktim të tillë si probabilitetin e kushtëzuar të ngjarjes. Ajo llogaritet duke supozuar se ngjarje A ka ndodhur. Ajo llogaritet si më poshtë: P (B / A).

Ne zgjasë zgjidhje për problemin tonë: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ose P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Probabiliteti është _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) llogaritet nga arrestimi të njëqindtë të afërt Ne kemi: .. _* 0.11 (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0, 82 = 0.09. probabiliteti që të nxjerr dy aces në një rresht është e barabartë me nëntë hundredths. vlera është shumë e vogël, rrjedh se probabiliteti i shfaqjes ngjarje është jashtëzakonisht i ulët.

dhomë harruar

Ne ofrojmë të bëjë disa opsione më shumë vende pune që studion teorinë e probabilitetit. Shembuj të zgjidhjeve të disa nga ato që ju keni parë në këtë artikull, do të përpiqen për të zgjidhur problemin e mëposhtme: Djali harruar numrin e telefonit për shifra e fundit të mikut të tij, por që thirrja ka qenë shumë i rëndësishëm, pastaj filloi të marr çdo nga ana e tij. Ne kemi nevojë për të llogaritur probabilitetin se ai do të thërrasë jo më shumë se tri herë. zgjidhja më e thjeshtë e problemit, nëse ju e dini rregullat, ligjet dhe aksiomat e teorisë së probabilitetit.

Para se ju shihni një zgjidhje, të përpiqet për të zgjidhur vetë. Ne e dimë se shifra e fundit mund të jetë nga zero deri në nëntë, për një total prej dhjetë vlerave. Rezultati Probabiliteti kërkohet është 1/10.

Tjetra ne duhet të marrin në konsideratë mundësitë për origjinën e ngjarjeve, le të supozojmë se djali mendoi të drejtë dhe fitoi të drejtën, probabiliteti i ngjarjeve të tilla është e barabartë me 1/10. Mundësia e dytë: Thirrja e parë shqip, dhe objektivi i dytë. Ne llogarisim probabilitetin e ngjarjeve të tilla: 9/10 shumëzuar me 1/9 në fund ne të marrë sa 1/10. Mundësia e tretë: thirrja e parë dhe të dytë doli të jetë adresa e gabuar, vetëm djali i tretë ishte vendi ku ai donte. Llogaritur probabilitetin e ngjarjeve të tilla: 9/10 shumëzuar me 8/9 dhe 1/8, ne marrim si pasojë e 1/10. Mundësi të tjera për gjendjen e problemit ne nuk jemi të interesuar, kjo mbetet për ne për të hedhur poshtë këto rezultate, në fund ne kemi një 3/10. Përgjigje: Probabiliteti që një djalë do të thërrasë jo më shumë se tri herë, të barabartë me 0.3.

Karta me numra

Para se nëntë karta, secila prej të cilave është shkruar një numër nga një deri në nëntë, numrat nuk janë të përsëritura. Ata vënë në një kuti dhe përzierje tërësisht. Ju duhet për të llogaritur probabilitetin se

• mbështjellë një numër edhe më;
• një dyshifrore.

Para se të vazhdojmë me vendimin përcaktojnë se m - është numri i rasteve të suksesshme, dhe n - është numri i përgjithshëm i opsioneve. Le të gjeni probabilitetin se numri është edhe më. Nuk është e vështirë për të llogaritur se edhe numrat e katër, dhe ajo është m ynë, të gjitha nëntë opsionet e mundshme, që është, m = 9. Atëherë probabiliteti është i barabartë me 0.44 ose 4/9.

Ne e konsiderojmë rastin e dytë, numri i varianteve të nëntë, dhe një rezultat i suksesshëm nuk mund të jetë në të gjitha, që është, m është zero. Probabiliteti se karta zgjatur do të përmbajë një numër dy shifror, si zero.