Derivati i sinusit të kendin është e barabartë me kosinus të njëjtin kënd

Dana funksion i thjeshtë trigonometry y = Sin (x), është differentiable ne cdo pike te gjithe domen. Ne duhet të provojë se derivati i sinusit të asnjë argument është e barabartë me kosinus të njëjtin kënd, që është, '= Cos (x).

Prova është e bazuar në përkufizimin e një funksioni derivativ

Ne define x (arbitrare) në një lagje të vogël të një pike të caktuar x Δh _0. Ne do të tregojnë vlerën funksion në të, dhe në pikën x për të gjetur rritje të të një funksion të caktuar. Nëse Δh - Argumenti incremented, argumenti i ri - kjo x ₀ + Δx = x, vlera e këtij funksioni për një vlerë të caktuar të argumentit (x) është i barabartë Sin (x ₀ + Δx), vlera e funksioni në një pikë të caktuar (x ₀₎ është gjithashtu i njohur .

Tani ne kemi Δu = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - funksion marra rritje.

Sipas formulës së shumës sine e dy kënde të pabarabarta ne do të konvertohet dallimin Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) minus Sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Δh).

Termat kryer ndërrim të grupuara së pari të mëkatit të tretë (x _0), marrë nga faktor të përbashkët - sine - kllapa. Ne kemi marrë në shprehje Cos ndryshim të (Δh) -1. Ajo u largua për të ndryshuar shenjën në frontin e kllapa dhe kllapa. Duke ditur se çfarë është 1-Cos (Δh), ne kemi bërë ndryshimin dhe të marrë një shprehje e thjeshtuar Δu, e cila është e ndarë më pas nga Δh.
Δu / Δh do të kenë formë: Cos (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0.5 x Δh) · Sin (x ₀₎ / Δh. Ky është raporti i rritjes së funksionit deri në pranimin në rritjes së argumentit.

Ajo mbetet për të gjetur kufirin e raporteve të marra nga ne gjatë lim Δh, duke u kujdesur për të zero.

Është e njohur se kufiri Sin (Δh) / Δx është e barabartë me 1, me kusht. Dhe shprehja 2 · Sin ² (0.5 x Δh) / Δh në shumës rezultojnë transformimeve veçanta te produktit qe permban si shumëfisht parë limiti shquar: numërues e fraksion dhe znemenatel ndarjes nga 2, katrore e sinusit zëvendësuar produkt. Ja se si:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Kufiri i kësaj shprehje kur Δh tenton në zero, do të jetë i barabartë me numrin e zero (0 shumëzuar me 1). Ajo rezulton se kufiri i raportit Δy / Δh është Cos (x ₀₎ · 1-0, kjo është Cos (x _0), shprehje e cila është e pavarur nga Δh duke u kujdesur për të 0. konkluzioni: derivatin e sinusit të çdo kënd është e barabartë me x kosinusin e x, mund të shkruhet si: y '= Cos (x).

Formula rezultuar është renditur në tabelën e derivateve të njohur, ku të gjitha funksionet elementare

Në zgjidhjen e problemeve, ku ai takohet derivati i sinusit, ju mund të përdorni rregullat e diferencimit dhe të gatshme formulave të tabelës. Për shembull: të gjetur derivatin e funksionit y thjeshtë = 3 · Sin (x) -15. Ne përdorin rregullat derivim heqjen faktor elementare numerike për shenjë të derivativit dhe të llogaritur numrin konstante derivativ (e cila është zero). Të aplikuar një vlerë sine tabela e derivatit te kendit x Cos barabartë (x). Marrin përgjigje: Y '= 3 · Cos (x) -O. Ky derivat i, nga ana tjetër, është gjithashtu një elementar funksion y = H · Cos (x).

Derivati i sinusit katrore e çdo argumenti

Në llogaritjen e shprehjes (Sin ² (x)) 'duhet të kujtojmë se si funksionin e diferencuar komplekse. Kështu, ² = Sin (x) - është një funksion fuqi si sine katrorë. Argumenti i saj është gjithashtu një funksion trigonometrik, argumenti komplekse. Rezultati në këtë rast është e barabartë me produktin e shumëzuesit të parë është një katror i derivatit komplekse të argumentit, dhe e dyta - derivati i sinusit. Këtu është rregulli për të diferencuar një funksion të një funksion: (u (v (x))) "është (u (v (x))) '· (v (x))". Shprehja e v (x) - një argumenti kompleks (funksion i brendshëm). Nëse funksioni i dhënë "y barabartë sine katror X", atëherë derivat i këtij funksioni përbërë është y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Produkti i shumëzuesit parë dyfishuar - derivat i njohur funksion tregues dhe Cos (x) - derivat sinus argumenti kompleks i funksionit katror. Rezultati përfundimtar mund të transformohet duke përdorur formulën e sinusit trigonometrike të këndit të dyfishtë. A: Derivati është Sin (2 · x). Kjo formulë është e lehtë për të mbajtur mend, ajo është përdorur shpesh si një tryezë.