Paradoks Russell: informacion bazë, shembuj, formulimi

Russell Paradoksi është dy antinom ndërvarura logjike.

Dy format e paradoks Russell

Forma më e diskutuar shpesh nga një kontradiktë në grupe logjike. Disa nga grup duket të jetë anëtarët vetë, dhe të tjerët - nuk ka. Tërësia e të gjitha përcakton në vetvete është një grup, kështu që duket se ai i referohet vetes. Null ose bosh, megjithatë, nuk duhet të jetë një anëtar i vetë. Prandaj, vendosur të gjitha grupe, si zero nuk është i përfshirë në vetvete. Paradoksi lind kur çështja nëse grupin e një anëtari të vetë. Kjo është e mundur në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ajo nuk është.

Një formë tjetër paradoks është një kontradiktë në lidhje me pronat. Disa veti, duket se i referohen veten, ndërsa të tjerët nuk janë. Prona të jetë prona në vetvete është një pronë, ndërsa prona të jetë ajo një mace nuk është. Konsideroni pasurinë e të pasurit një pronë që nuk i përkasin atij. në qoftë se ajo vlen për vete? Përsëri, asnjë nga supozimet duhet të jetë e kundërta. Paradoksi është emëruar në nder të Bertrand Russell (1872-1970), i cili e zbuloi atë në 1901.

histori

Hapja Russell ndodhur gjatë punës së tij në "Parimet e matematikës". Edhe pse ai zbuloi paradoksin në mënyrë të pavarur, ka prova se Matematikanë tjera dhe zhvilluesit e teorise se bashkesive, duke përfshirë Ernst Zermelo dhe David Hilbert, ishin në dijeni të versionit të parë të kontradiktave para tij. Russell, megjithatë, ishte i pari që u diskutua në detaje paradoksin në veprat e tij të botuara, së pari u përpoq për të formuluar zgjidhje dhe i pari që të vlerësojmë plotësisht domethënien e saj. Një kapitull i tërë i "Parimeve" është e përkushtuar për diskutimin e kësaj çështjeje, dhe aplikimi ishte i përkushtuar për teorinë e llojeve, të cilat Russell propozuar si një zgjidhje.

Russell zbuloi "paradoksin e gënjeshtar ', duke pasur parasysh teorinë Cantor caktuar që thotë se fuqia e çdo grup është më i vogël se sa të vendosur të subsets saj. Të paktën në domenin duhet të jetë sa më shumë subsets si ka elemente në të, në qoftë se një nëngrup i secilit element është vendosur që përmban vetëm këtë element. Për më tepër, Cantor provuar se numri i elementeve nuk mund të jetë i barabartë me numrin e subsets. Nëse do të kishte numër të njëjtë, ajo do të duhet të ekzistojë ƒ funksion që do të shfaqin elemente në subsets e tyre. Në të njëjtën kohë ajo mund të provohet se kjo është e pamundur. Disa artikuj mund të shfaqet në subsets funksioni ƒ që përmbajnë ato, ndërsa të tjerët nuk mund të.

Konsideroni mesin e elementeve që nuk i përkasin në imazhet e tyre, në të cilën ata shfaqin ƒ. Kjo në vetvete është një mesin e elementeve, dhe për këtë arsye, ƒ funksion do ta shfaqin atë në një element në domenin. Problemi është se atëherë shtrohet pyetja nëse ky element i takon mesin për të cilën ajo tregon ƒ. Kjo është e mundur vetëm në qoftë se ajo nuk i përket. Paradoksi Russell mund të shihet si një shembull të njëjtën linjë të arsyetimit, thjeshtuar vetëm. Ajo që është më shumë - përcakton ose subsets të vendosur? Ajo do të duket se duhet të ketë më shumë grupe, si të gjitha subsets e vetë grupe. Por në qoftë se Teorema Cantor është i vërtetë, atëherë duhet të ketë më shumë subsets. Russell konsiderohet thjesht shfaqin vendos në veten e tyre dhe të aplikuar qasje kantoriansky parasysh vendosjen e të gjitha këtyre elementeve, jashtë nga një grup në të cilën ata janë shfaqur. Duke treguar Russell bëhet vendosur të gjitha grupe, një organizatë jo.

gabim Frege

"Paradoksi i gënjeshtar" pati një ndikim të thellë në zhvillimin historik të teorisë së përcakton. Ai tregoi se koncepti i caktuar universal është shumë problematike. Ai gjithashtu në pikëpyetje idenë se për çdo kusht të përcaktuar ose kallëzues mund të supozojmë ekzistencën e një shumicë prej vetëm ato gjëra që plotësojnë këtë kusht. Paradoksi opsion në lidhje me pronat - një zgjerim natyror ndaj vendos Version - ngriti dyshime serioze se a është e mundur të argumentojnë për ekzistencën objektive të një pronë apo një përputhje universale në çdo përcaktohet nga gjendja, ose kallëzues.

Së shpejti kontradiktat dhe problemet në punën e logicians u gjetën, filozofë dhe matematikanë të cilët kanë bërë supozime të ngjashme. Në vitin 1902, Russell gjetur se një variant i paradoks mund të shprehet në një sistem logjik, i zhvilluar në Vëllimin I të "Parimet e aritmetikës" Gottlob Frege, një nga veprat kryesore në logjikën e fund të XIX - fillim të shekullit XX. Në filozofinë e Frege shumë kuptohet si një "zgjerim" ose "vlera e-varg" koncept. Konceptet janë të afërt me ato të korrespondues. Ata pritet të ekzistojë për asnjë kusht të caktuar ose kallëzues. Kështu, nuk është një koncept i një grupi, i cili nuk bie nën konceptin e saj përcaktues. Ekziston edhe një klasë të përcaktuara me këtë koncept, dhe është subjekt i përcaktuar konceptin e saj vetëm nëse ajo nuk është.

Russell shkroi Frege në lidhje me këtë konflikt, në qershor 1902 Korrespondenca është bërë një nga më emocionuese dhe të biseduar rreth në historinë e logjikës. Frege menjëherë njohur pasojat shkatërrimtare të paradoks. Ai vuri në dukje, megjithatë, se versioni i polemikave në lidhje me pronat në filozofinë e tij u zgjidh nga dallimin ndërmjet koncepteve të niveleve.

Nocioni Frege kuptuar si kalimi nga argumentet e funksionit në true. Konceptet niveli i parë duke marrë si argumente objektet e koncepteve të nivelit të dytë marrin si argumente për këto funksione, dhe kështu me radhë. Kështu, koncepti nuk mund të marrin veten si një argument, dhe paradoksi në aspektin e pronave nuk mund të formulohet. Megjithatë vendos, zgjerimi apo konceptet Frege kuptohet se i referohet të njëjtit lloj logjike si ajo e të gjitha objekteve të tjera. Pastaj për çdo grup ka një pyetje nëse ajo bie nën konceptin e përcaktuar atë.

Kur Frege, Russell mori letrën e parë, vëllimi i dytë i "Parimet e aritmetikës" tashmë ka mbaruar shtypura. Ai u detyrua të shpejt të përgatitur një kërkesë që i jep një përgjigje për paradoksin e Russell. Shembuj Frege përmbante një numër të zgjidhjeve të mundshme. Por ai arriti në përfundimin për të dobësuar konceptin e vendosur abstragim në një sistem logjik.

Në origjinal, ishte e mundur të konkludohet se objekti i takon për të vendosur nëse dhe vetëm nëse ajo bie në kuadër të konceptit, përcakton atë. Sistemi i rishikuar i vetëm mund të konkludojmë se objekti i takon për të vendosur nëse dhe vetëm nëse ajo bie brenda nocionit të përcaktuar një shumicë, por nuk është caktuar në fjalë. Paradoksi Russell lind.

Zgjidhja, megjithatë, nuk është plotësisht e kënaqur me Frege. Dhe kjo ishte arsyeja. Disa vite më vonë, forma më komplekse e kundërshtim është gjetur për sistemin e rishikuar. Por edhe para se kjo ndodhi, Frege braktisur vendimet e tij dhe duket se për të ardhur në përfundim se qasja e tij ishte thjesht jofunksionale, dhe se logjika do të duhet të bëjë pa asnjë nga grupe.

Ende të tjerët kanë qenë të propozuar, zgjidhje relativisht më të suksesshme alternative. Këto janë diskutuar më poshtë.

Teoria e llojeve

Ajo u përmend më lart se Frege ishte një përgjigje adekuate për paradokset e teorise se bashkesive në versionin e formuluara për pronat. Përgjigja Frege u parapri nga zgjidhja më e diskutuar shpesh për këtë formë të paradoks. Ajo është e bazuar në faktin se pronat janë subjekt i llojeve të ndryshme dhe çfarë lloji i pronës nuk është e njëjtë si sendet për të cilat ajo i referohet.

Kështu, as edhe shtrohet pyetja, nëse prona është i zbatueshëm për vetvete. gjuha logjik, i cili ndan elementet e një hierarkie të tillë, duke përdorur teorinë e llojeve. Edhe pse ajo është përdorur tashmë nga Frege, herë të parë është shpjeguar plotësisht dhe arsyetuar Russell në aneksin e "parim". Teoria e llojeve të ishte më i plotë se dallimin e niveleve Frege. Ajo ndau pronat nuk janë vetëm lloje të ndryshme të logjikës, por edhe të vendosur. lloj teori për të zgjidhur kontradiktën në paradoksin e Russell poshtë.

Në mënyrë që të jetë një filozofikisht adekuat, miratimi i teorisë së llojeve të pronave kërkon zhvillimin e teorisë së natyrës së pronave mënyrë që të mund të shpjegojë se pse ata nuk mund të aplikohet për veten e tyre. Në shikim të parë, kjo ka kuptim për kallëzues pronën e tyre. Prona të qenë vetë-identitetit, kjo do të duket, ajo është gjithashtu një vetë-identitetit. Prona duket të jetë një këndshme bukur. Në të njëjtën mënyrë, me sa duket, duket false për të thënë se prona e të qënit një mace është një mace.

Megjithatë, mendimtarë të ndryshëm justifikuar ndarjen e llojeve të ndryshme. Russell edhe ka dhënë shpjegime të ndryshme në kohë të ndryshme në karrierën e tij. Nga ana e saj, arsyetimi për ndarjen e koncepteve të ndryshme të niveleve Frege vjen nga teoria e tij e koncepteve të pangopura. Konceptet si funksion, në thelb, nuk janë të plota. Për të siguruar vlerën, ata kanë nevojë për një argument. Ju nuk vetëm një koncept mund të kallëzues konceptin e të njëjtit lloj, për shkak se ajo ende kërkon argumentin e saj. Për shembull, edhe pse është e mundur për të marrë rrënja katrore e rrënja katrore e një numri, ju nuk mund të përdorni vetëm një funksion rrënjë katrore në funksion rrënjë katrore dhe për të marrë një rezultat.

Në lidhje me pronat konservatorizmit

Një zgjidhje e mundshme është prona Paradox pronat mohuese ekzistenca nën asnjë kusht caktuar, ose një kallëzues të mirë-formuar. Sigurisht, në qoftë se dikush eschews vetitë metafizike të dy elementeve objektive dhe të pavarur si një e tërë, nëse marrim nominalizëm paradoks mund të shmanget plotësisht.

Megjithatë, për të zgjidhur antinominë nuk duhet të jetë aq ekstreme. Logjikë sistemet e rendit më të lartë të zhvilluara Frege dhe Russell, përmbajnë atë që quhet një parim konceptuale, sipas të cilit çdo formula e hapur pavarësisht se sa kompleks ekziston si pjesë e një pronë apo koncept për shembull, vetëm ato sende që përputhen me formulën. Ato zbatohen për atributet e çdo grup të mundshëm të kushteve ose predikateve, pa marrë parasysh se sa kompleks ata ishin.

Megjithatë, ajo ishte e mundur për të marrë një veti më rigoroze metafizika, duke i dhënë të drejtën e ekzistencës objektive të pronave të thjeshta, duke përfshirë, për shembull, të tilla si ngjyra e kuqe, qëndrueshmëri, mirësisë dhe kështu me radhë. D. Ju edhe mund të le këto prona të zbatohet për veten e tyre, të tilla si mirësia mund të jetë i sjellshëm.

Dhe e njëjta status për atributet komplekse mund të mohohet, për shembull, "prona" të tilla si të paturit e shtatëmbëdhjetë kokat, të shkruar nën-ujë dhe të ngjashme. D. Në këtë rast, asnjë kusht paracaktuar nuk i plotëson pronën, kuptohet si veç e veç element, i cili ka vetitë e veta ekzistuese. Kështu nuk mund të mohojë ekzistencën e pronave të thjeshtë të jetë e-pronë-se-jo-aplikohet-to-vetë dhe për të shmangur paradoksin duke aplikuar pronat më konservative metafizike.

paradoks Russell: zgjidhja

Mbi të është vërejtur se në fund të jetës së tij Frege plotësisht braktisur logjikën e përcakton. Kjo, sigurisht, një zgjidhje për antinominë në formën e përcakton: a mohim të thjeshtë për ekzistencën e elementëve të tillë si një e tërë. Përveç kësaj, ka shumë zgjedhje të tjera të njohura, bazat e të cilat janë treguar më poshtë.

Teoria për shumë lloje të

Siç u përmend më herët, Russell ka luajtur për një teori më të plotë të llojeve, të cilët do të ndajnë jo vetëm pronat ose koncepte të llojeve të ndryshme, por edhe të vendosur. Russell shared vendosur në një shumësinë e njësive të veçanta, një shumicë e grupe të objekteve të veçanta, etj grupe të objekteve nuk janë konsideruar, dhe një shumicë e përcakton - .. vë. Një shumë e kurrë nuk e ka gëzuar llojin, ju lejon të keni si anëtar i vetë. Prandaj, nuk ka vendosur të gjitha grupe që nuk janë anëtarë të vet, sepse për çdo grup të pyetjeve në lidhje me nëse ajo është si një anëtar, është në vetvete një lloj shkelje. Përsëri, çështja këtu është për të shpjeguar vendos metafizikë për të shpjeguar themelet filozofike të ndarjes në lloje.

shtresim

Në vitin 1937, V. V. Kuayn ka ofruar një zgjidhje alternative, në mënyrë të ngjashme me teorinë e llojeve. informacion bazë në lidhje me të janë.

Ndarja vendos element dhe të tjerët. Bërë në mënyrë që supozimi të gjetur një shumicë gjithmonë është i pasaktë ose e pakuptimtë. Grupe mund të sigurohet vetëm kur përcaktimin e kushteve të tyre nuk janë një lloj shkelje. Kështu, për Quine, shprehja "x nuk është anëtar i X" është deklarata kuptimplotë nuk nënkupton ekzistencën e vendosur të të gjitha elementeve x plotësojnë këtë kusht.

Në këtë sistem një grup ekziston për një formulë A hapur nëse dhe vetëm nëse ajo është shtresuar, t. E. Nëse variablat janë caktuar integers pozitiv tillë që për çdo dukuri karakteristike të një pluralitetit të paraprirë atë variabël është caktuar njësi Detyra më e vogël se ndryshore, pas pas tij. Paradoksi Kjo bllokon Russell, që nga formula e përdorur për të përcaktuar problemin grup, nuk është i njëjtë para dhe pas shenja ndryshueshme anëtarësimi bërë atë unstratified.

Por ajo ka ende për të përcaktuar nëse sistemi rezulton, e cila Quine i quajtur "Parimet reja të logjikës matematike" në përputhje.

refuzim

Një qasje krejtësisht të ndryshme është marrë në teorinë e Zermelo - Fraenkel (ZF). Këtu, gjithashtu, të vendosur një kufi mbi ekzistencën e përcakton. Në vend të kësaj, qasje e "lart-poshtë" e Russell dhe Frege, i cili fillimisht menduan se për të gjitha konceptet, pronat, ose kushtet mund të sugjerojnë ekzistencën e vendosur të të gjitha gjërave me këtë pronë, ose për të përmbushur një kusht të tillë, në ZF-teori, çdo gjë fillon "nga poshtë lart".

Elementet individuale të vendosur zbrazët dhe të formojnë një grup. Prandaj, ndryshe nga sistemet e mëparshme dhe Russell Frege FIT nuk i takon për të vendosur universale e cila përfshin të gjitha elementet dhe madje edhe të gjitha grupe. ZF vendos kufizime të rrepta mbi ekzistencën e përcakton. Mund të ekzistojnë vetëm ato për të cilat ajo është e postulatit qartë ose që mund të formulohet me anë të proceseve përsëritës dhe si. D.

Pastaj, në vend të konceptit abstragim grup naiv i cili thotë se një element i veçantë është përfshirë në grup, nëse dhe vetëm nëse ai plotëson kushtet në parimin e ndarjes e përdorur DF, ndarje ose "klasifikim". Në vend të supozuar ekzistencën e vendosur të të gjitha elementeve që janë pa përjashtim të plotësojë një kusht të caktuar, për çdo grup ekzistues Aussonderung tregon ekzistencën e një mesin e të gjitha elementeve në grup fillestar i cili plotëson kushtin.

Pastaj vjen Parimi abstraksion: nëse set A ekziston, atëherë, për të gjitha x në një, x takon nënbashkësi A, i cili plotëson kushtin nëse dhe vetëm nëse x kënaq Kushti i C. Kjo qasje zgjidh paradoks Russell, pasi ne nuk mund thjesht të supozojmë që është, vendosur të gjitha grupe që nuk janë anëtarë të vetë.

Duke pasur një shumë grupe, ju mund të zgjidhni ose të ndajnë atë në grupe, të cilat janë në vetvete, dhe ata që nuk janë të tilla, por që nuk ka asnjë set universal ne nuk jemi të detyruar vendosjen e të gjitha grupe. Pa marrë problemin përcakton Russell kontradiktë nuk mund të provohet.

zgjidhje të tjera

Përveç kësaj, u zhvilluan zgjerime apo modifikime të mëvonshme të të gjitha këtyre zgjidhjeve, siç është përkufizimi i teorisë së llojeve të "Principeve të matematikës", zgjerimi i sistemit të "Logjikës matematike" nga Quine, si dhe zhvillimet e mëvonshme në teorinë e vendosur nga Bernays, Gödel dhe von Neumann. Çështja nëse përgjigjja në paradokset e vështira të Bertrand Russell është ende një çështje debati.