Kjo është tangjent të rrethit? Prona e tangjent të rrethit. Tangjent përbashkët për të dy qarqeve

Secants, tangents - e gjithë kjo qindra herë do të mund të dëgjohet në mësimet gjeometri. Por çështja e shkollës pas, të kalojë vit, dhe e gjithë kjo njohuri harruar. Çfarë duhet të kujtohet?

thelb

Termi "tangjent të rrethit" shenjë, ndoshta, çdo gjë. Por nuk ka gjasa që të gjithë do të shpejt të formulojë një përkufizim. Ndërkohë quajtur një tangente të shtrirë në të njëjtin avion, si rrethi i cili kryqëzon atë në vetëm një pikë. numër i tyre mund të ekzistojnë, por ata të gjithë kanë të njëjtat veti, të cilat do të diskutohen më poshtë. Siç mund mend, pika e kontaktit referuar në vendin ku rrethi dhe linja ndërpritet. Në çdo rast, ajo është një, në qoftë se ka më shumë, atëherë ajo do të jetë transversal.

Historia e zbulimit dhe studimit

Koncepti i një tangente shfaq në kohët e lashta. Ndërtimi i këtyre linjave në rrethin e parë, dhe pastaj në elipse, parabolas dhe hyperbolas me një sundimtar dhe një busull të mbajtur ende në fazat e hershme të zhvillimit të gjeometrisë. Sigurisht, historia nuk ka ruajtur emrin e zbuluesit, por është e qartë se edhe në atë kohë njerëzit ishin të njohur edhe vetitë e tangjent të rrethit.

Në kohët moderne, interesi në këtë fenomen shpërtheu përsëri - filloi një raund të ri të studimit të këtij koncepti në lidhje me hapjen e kthesa të reja. Kështu, Galileo paraqiti konceptin e cycloid dhe Fermat dhe Dekarti ndërtuar një tangjent me të. Sa për qarqet, me sa duket, është për të fshehtat e lashta mbetur në këtë fushë.

pronat

Radius tërhequr në pikën ndërprerje do të jetë pingul në linjë. kjo kryesor, por jo vetëm pronën e vetme që është tangjent të rrethit. Një tjetër tipar i rëndësishëm tashmë përfshin dy drejt. Pra, me një pikë të vetme, e cila shtrihet jashtë rrethit, është e mundur për të nxjerrë dy tangents, dhe gjatesite e tyre janë të barabartë. Nuk është një tjetër Teorema mbi këtë temë, por ajo është mbajtur rrallë në kuadër të kursit standarde shkollës, por ajo është jashtëzakonisht e dobishme për zgjidhjen e problemeve të caktuara. Ajo shkon si më poshtë. Nga një pikë që ndodhet jashtë rrethit, të nxjerrë një tangente dhe prerëse për të. segmente formuar AB, AC dhe AD. A - ndërprerja e linjave, B pikën e tangency, C dhe D - kalimit. Në këtë rast, ekuacioni i mëposhtëm është i vlefshëm: gjatësia e tangjent të rrethit, katror, është e barabartë me produktin e segmenteve AC dhe AD.

Nga sa më sipër, nuk është një konkluzion i rëndësishëm. Për çdo pikë të rrethit, ju mund të ndërtojë një tangente, por vetëm një. Argument për këtë është mjaft e thjeshtë: në teori deri në atë pingul nga rrezja, ne gjejmë se formuar një trekëndësh nuk mund të ekzistojë. Dhe kjo do të thotë se tangjent - i vetmi.

ndërtesë

Në mesin e detyrave të tjera në gjeometri është një kategori e veçantë, si rregull, nuk është i dashur nga nxënësit dhe studentët. Për të zgjidhur detyrat e kësaj kategorie duhet vetëm një busull dhe një sundimtar. Kjo është detyrë e ndërtesës. Atje ata të ndërtuar në një tangente.

Pra, duke pasur parasysh një rreth dhe një pikë që ndodhej jashtë kufijve të saj. Dhe ju duhet të lundruar nëpërmjet tyre tangjent. Si do të bëni atë? Para së gjithash, ju duhet të kalojnë intervali në mes të qendrës së O rrethit dhe të vendosur pikë. Pastaj, me ndihmën e një busull duhet të ndajnë atë në gjysmë. Për ta bërë këtë, ju duhet të caktojë rrezen - pak më shumë se gjysmën e distancën midis qendrës së rrethit dhe pikës fillestare. Atëherë ju keni nevojë për të ndërtuar dy harqeve intersecting. Rrezja në ndryshim nuk duhet të jetë busull, dhe qendra e çdo anë të rrethit do të jetë pika origjinale, dhe O, respektivisht. Places harqeve kryqëzimet duhet të lidhë atë pjesë të prerë në gjysmë. Pyetni në busull rreze të barabartë me distancën. Më tej, me qendër në kryqëzimin për të ndërtuar një rreth. Ajo do të bazohet në dy pikë fillestare, dhe O. Në këtë rast, do të ketë dy kryqëzimet me këtë problem në një rreth. Se ata do të jenë pikat e kontaktit për pikën e caktuar fillimisht.

interesant

Ajo është duke ndërtuar një tangente të rrethit çoi në lindjen gur diferencial. Puna e parë në këtë temë është publikuar nga matematikani i famshëm gjerman Leibniz. Ajo dhënë për mundësinë e gjetjes së maxima, minima dhe tangents, pavarësisht sasive pjesshëm dhe irracionale. E pra, tani ajo është përdorur për shumë llogaritje të tjera.

Për më tepër, tangjent të rrethit lidhur me kuptimin gjeometrik tangjent. Ajo është nga kjo, dhe emri i tij vjen. Përkthyer nga tangens latine - "tangjent". Kështu, ky koncept nuk është vetëm një gjeometri dhe njehsim diferencial, por me trigonometri.

dy qarqe

Jo gjithmonë tangjent zatragivet vetëm një figurë. Në qoftë se ju mund të kaloni rreshta numër shumë i madh në një rreth, atëherë pse jo anasjelltas? Të jetë e mundur. Kjo është vetëm problemi në këtë rast është e komplikuar seriozisht, sepse tangjent me dy qarqe nuk mund të kalojë nëpër çdo pikë, dhe pozita relative e të gjitha këto shifra mund të jenë shumë ndryshme.

Llojet dhe varieteteve

Kur është fjala për të dy qarqeve dhe një ose më shumë linja, atëherë edhe në qoftë se ju e dini se ajo është në lidhje, nuk është menjëherë e qartë se si të gjitha këto pjesë janë rregulluar në lidhje me njëri-tjetrin. Mbi këtë bazë, ka disa varieteteve. Pra, rrethi mund të ketë një ose dy pika të përbashkëta, ose asnjë fare. Në rastin e parë, ata do të mbivendosen, dhe e dyta - për të prekur. Dhe këtu janë dy varieteteve. Nëse një rreth, siç u ngulitur në e dytë, prekje quhet brendshme nëse jo - atëherë jashtë. Kuptojnë pozita relative e pjesëve nuk mund të bazohet vetëm në vizatim, por që ka informacion në lidhje me shumën e radii tyre dhe distanca midis qendrave të tyre. Nëse këto dy vlera janë të barabartë, atëherë qarqet prekni. Nëse para më - ndërpritet dhe ndryshe - nuk kanë pika të përbashkëta.

Pra, kjo është me vija te drejta. Për çdo dy qarqe që ka asnjë pikë të përbashkët mund të jetë
ndërtuar katër tangents. Dy prej tyre do të përputhen në mes të shifrave, ato janë quajtur të brendshme. Një çift i tjetrit - të jashtme.

Në qoftë se ne po flasim për qarqet, të cilat kanë një pikë të përbashkët, problemi thjeshtuar seriozisht. Fakti është se në çdo marrëveshje të ndërsjellë, në këtë rast tangjent ata do të kenë vetëm një. Dhe kjo do të kalojë nëpër pikën e kryqëzimit. Kështu që ndërtimi nuk do të shkaktojë vështirësi.

Nëse shifrat janë dy pikat e ndërprerje, atëherë ata mund të ndërtohet tangente të rrethit si një, dhe e dyta, por vetëm jashtë. Zgjidhja për këtë problem është e ngjashme me atë që është diskutuar më vonë.

Përmbushjen e sfidave

Të dy tangjent brendshme dhe të jashtme të të dy qarqeve në ndërtesë nuk janë kaq të thjeshta, edhe pse, dhe ky problem është zgjidhur. Fakti se modeli ndihmëse është përdorur për këtë, kështu që me motive nga një metodë të tillë të vetëm Ajo është mjaft problematike. Pra, duke pasur parasysh dy qarqet me radii të ndryshme dhe qendrave O1 dhe O2. Për ta, nevoja për të ndërtuar dy palë tangents.

Para së gjithash, në lidhje me qendrën e rrethit më të madhe për të ndërtuar mbështetës. Në të njëjtën kohë në busull duhet të jetë vendosur dallimin në mes të radii e dy figurave origjinale. Nga qendra e tangjent vogël rrethit të ndihmëse ndërtuar. Pas kësaj i O1 dhe O2 mbahen perependikulyary këto direkt në kryqëzimin me shifrat origjinale. Si më poshtë nga vetitë themelore të tangjent, pikat e kërkuara janë gjetur në të dy qarqet. Problemi është zgjidhur, të paktën në pjesën e saj të parë.

Për të ndërtuar tangents brendshme të duhet për të zgjidhur pothuajse Një problem i ngjashëm. Përsëri, ne kemi nevojë për një figurë ndihmëse, por këtë herë rrezja e tij është e barabartë me shumën e origjinalit. Për të ndërtuar tangjent nga qendra e një prej këtyre qarqeve. Kursi i mëtejshëm i vendimit mund të kuptohet nga shembulli i mëparshëm.

Tangjent të rrethit, apo edhe dy ose më shumë - nuk është një detyrë e vështirë. Sigurisht, matematikanët kanë pushuar gjatë për të zgjidhur probleme të ngjashme me dorë dhe besim të llogaritur programe të veçanta. Por nuk mendoj se tani nuk është domosdoshmërisht të jetë në gjendje të bëjë atë vetë, sepse për një formulim të saktë të detyrës për kompjuter për të bërë më shumë dhe për të kuptuar. Për fat të keq, ekziston frika se pas kalimi përfundimtar në formën e testit të problemeve të kontrollit të njohurive mbi ndërtimin do të shkaktojë nxënësit gjithnjë e më shumë vështirësi.

Sa për gjetjen e tangents përbashkët në më shumë qarqe, kjo nuk është gjithmonë e mundur, edhe në qoftë se ata qëndrojnë në të njëjtin avion. Por në disa raste është e mundur për të gjetur një linjë të tillë.

shembuj Jeta

Tangjent përbashkët për të dy qarqeve është gjetur shpesh në praktikë, edhe pse kjo nuk është gjithmonë e qartë. Shiritat, sisteme modulare, transmetimit rripa pulleys, tensioni i fije në një makinë qepëse, por edhe vetëm një zinxhir biçikletë - të gjitha shembuj të jetës. Pra, nuk mendoj se problemet gjeometrike të mbetet vetëm në teori: në inxhinieri, fizikës, ndërtim dhe shumë fusha të tjera janë në përdorim praktik.